De Sitter-metriek

De De Sitter-metriek wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$. Hierbij staat ${\displaystyle n}$ voor het aantal ruimtetijdsdimensies, dat wil dus zeggen ${\displaystyle n-1}$ ruimtelijke richtingen en één tijdsrichting. Het De Sitter-model, dat een vereenvoudigd model is voor het universum waarin we leven, benadert ons universum door de ruimte ${\displaystyle \mathrm {d} S_{4}}$. Men kan ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$ zien als de Lorentziaanse versie van een ${\displaystyle n}$-sfeer. In wiskundige termen is het de maximaal symmetrische, positief gekromde ruimte met Lorentziaanse signatuur.

De meest courante definitie van ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$, is de deelruimte van een ${\displaystyle (d+1)}$-dimensionale Minkowski-ruimte

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} x_{i}^{2}}$,

bepaald door de vergelijking

${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=L^{2}}$

Hierin is ${\displaystyle L}$ een grootte met de eenheid van lengte, de De Sitter-lengte. Ruwweg bepaalt deze constante de lengteschaal geassocieerd aan de kromming. Voor een waarnemer in een De Sitter-universum, zou het verschil met een gewone vlakke ruimte voelbaar zijn op lengteschalen van de orde van ${\displaystyle L}$.

De metriek op de bovenbeschreven deelruimte wordt overgeërfd van de achterliggende Minkowski-metriek. De bovenstaande vergelijking beschrijft een hyperboloïde, uitgestrekt in de tijdsrichting van de Minkowski-ruimte, en heeft dus zelf ook een tijdsrichting. Dat verklaart dus dat ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$, net als zijn achterliggende ruimte, Lorentz-signatuur heeft. Meer concreet kunnen we de deelruimte ${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=L^{2}}$ beschrijven met de coördinaten ${\displaystyle (t,y_{i})}$, als volgt:

${\displaystyle x_{0}=L\sinh(t/L)}$

${\displaystyle x_{i}=L\cosh(t/L)\,y_{i}}$

met ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}y_{i}^{2}=1}$. Dit toont aan dat ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$ topologisch gegeven is door een tijdsrichting maal een ${\displaystyle (n-1)}$-sfeer: ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{n-1}}$.

Als men de bovenbeschreven relaties in de oorspronkelijke Minkowsi-metriek invult, krijgt men expliciet de metriek van De Sitter-metriek:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+L^{2}\cosh ^{2}(t/L)\,\mathrm {d} \Omega _{n-1}^{2}}$

Hierin is ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega _{n-1}^{2}}$ de metriek op de ${\displaystyle (n-1)}$-sfeer: bepaald door de ${\displaystyle y_{i}}$'s.

De isometriegroep van ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$ is de lorentz-groep ${\displaystyle O(1,n)}$. De riemann-tensor is gegeven door

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over L^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })}$

Aangezien de ricci-tensor een veelvoud is van de metriek,

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{L^{2}}}g_{\mu \nu }}$

is ${\displaystyle \mathrm {d} S_{n}}$ een Einstein-ruimte, en dus een oplossing van de Einstein-vergelijkingen met een kosmologische constante ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0}$

met ${\displaystyle G_{/mu/nu}=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$ de Einstein-tensor en ${\displaystyle g}$ de metriek. Bijgevolg is de overeenkomstige kosmologische constante gegeven door

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2L^{2}}}}$

De scalaire kromming van de ruimte is

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{L^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda }$

Beide zijn inderdaad positief.

De kunnen De Sitter-ruimte ook voorzien van statische coördinaten ${\displaystyle (t,r,\ldots )}$, met de volgende coördinaatovergang:

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {L^{2}-r^{2}}}\sinh(t/L)}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {L^{2}-r^{2}}}\cosh(t/L)}$

${\displaystyle x_{i}=rz_{i}\quad }$ voor ${\displaystyle \quad 2\leq i\leq n}$

met ${\displaystyle z_{i}}$ coördinaten op een ${\displaystyle (n-2)}$-sfeer. In deze coördinaten krijgt De Sitter-metriek de vorm:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{L^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{L^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega _{n-2}^{2}}$

In deze vorm ziet men goed dat voor ${\displaystyle L\to \infty }$ (wat fysisch overeenkomt met een limiet waarin de kromming nul wordt) inderdaad de metriek lokaal die van de gewone (vlakke) Minkowski-ruimte aanneemt.

• De Sittermodel
• Anti-de Sitter-metriek
• Minkowski-metriek

Dit artikel gebruikt zogeheten mostly-plus conventies. Dat wil zeggen dat de tijdscoördinaat in de metriek een negatief teken heeft, en ook de plaats van de kosmologische term in de Einstein-vergelijking is hiervan afhankelijk. (voor mostly-plus conventies staat deze term links, aan de kant van de Einstein-tensor.)