Lorentz-groep
In de natuurkunde en de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de lorentz-groep de groep van alle lorentztransformaties van de minkowski-ruimtetijd, de klassieke setting voor alle (niet-zwaartekracht) natuurkundige fenomenen.
De lorentz-groep is de deelverzameling van de poincaré-groep bestaande uit de elementen die de oorsprong vast houden. Het is dus de groep van coördinatentransformaties van de minkowski-ruimtetijd die de eigentijd en de oorsprong behouden.
De wiskundige vorm van
- De kinematische wetten van de speciale relativiteitstheorie,
- De veldvergelijkingen van Maxwell in de theorie van het elektromagnetisme,
- De vergelijking van Dirac in de theorie van het elektron,
zijn elk invariant onder lorentztransformaties. Daarom kan men zeggen dat de lorentz-groep een fundamentele symmetrie van veel van de bekende fundamentele natuurwetten uitdrukt.
Axioma's en definitie
Basis voor iedere groep is de samenstelling van twee elementen. Je kunt twee transformaties samenstellen door ze na elkaar uit te voeren. Dit betekent dat je tijd en plaats in een stelsel S eerst omrekent naar een stelsel S' dat beweegt ten opzichte van S en vervolgens naar een derde stelsel S" dat beweegt ten opzichte van S'. Het resultaat is een transformatie van S naar S". Net als voor iedere groep gelden voor de groep van lorentztransformaties de volgende axioma's:
- Wanneer L en L' lorentztransformaties zijn, is de samenstelling L" = LL" zelf ook een lorentztransformatie.
- Er is een eenheidstransformatie L zodat voor iedere lorentztransformatie L' geldt LL' = L'.
- Voor iedere lorentztransformatie L' is er een bijbehorende inverse lorentztransformatie L" zodat L'L"" = L.
Een verzameling transformaties die aan deze eigenschappen voldoet noemt men een groep. De verzameling van alle lorentztransformaties is zo'n groep. Een groep heeft bijzondere eigenschappen. Met behulp van groepentheorie is het daardoor mogelijk afleidingen efficiënter uit te voeren. De verzameling van (lineaire) coördinatentransformaties vormt een groep. De deelgroep daarvan waarbij tijd en afstand invariant is vormen de galileitransformaties uit de klassieke mechanica.
De lorentz-groep wordt nu gedefinieerd als de verzameling van alle coördinatentransformaties waarbij de lichtsnelheid invariant is. Het is eenvoudig in te zien dat deze verzameling aan de drie axioma's voldoet. Immers wanneer twee transformaties allebei de lichtsnelheid niet veranderen doet de samenstelling dat ook niet. De eenheidstransformatie verandert de lichtsnelheid niet en de inverse van een transformatie die de lichtsnelheid niet verandert doet dat zelf ook niet. Doordat de "lorentzgroep" aan de drie axioma's voldoet vormt deze dus inderdaad een groep.