Cramérs V

De simultane verdeling van de beide variabelen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ wordt gegeven door de kansen

${\displaystyle p_{ij}=P(A=A_{i},B=B_{j}),i=1,\ldots ,r;j=1,\ldots ,k}$

De ${\displaystyle \chi ^{2}}$-grootheid die de simultane kansen vergelijkt met de kansen bij onafhankelijkheid, is:

${\displaystyle \chi _{p}^{2}=\sum _{i,j}{\frac {(p_{ij}-p_{i\cdot }p_{\cdot j})^{2}}{p_{i\cdot }p_{\cdot j}}}=\sum _{i,j}{\frac {p_{ij}^{2}}{p_{i\cdot }p_{\cdot j}}}-1}$

Daarin is

${\displaystyle p_{i\cdot }=\sum _{j}p_{ij}}$

en analoog

${\displaystyle p_{\cdot j}=\sum _{i}p_{ij}}$

Bij statistische onafhankelijkheid tussen beide variabelen geldt:

${\displaystyle p_{ij}=p_{i\cdot }p_{\cdot j}}$;

dus:

${\displaystyle \chi _{p}^{2}=0}$

Bij volledige samenhang tussen de beide variabelen zijn er evenveel rijen als kolommen ( ${\displaystyle r=k}$) en is (eventueel na herschikking):

${\displaystyle p_{ii}=p_{i\cdot }=p_{\cdot i}}$

en

${\displaystyle p_{ij}=0,\,i\neq j}$,

zodat:

${\displaystyle \chi _{p}^{2}=k-1}$

Voor de populatie is Cramérs V de parameter:

${\displaystyle V_{p}={\sqrt {\frac {\chi _{p}^{2}}{\min(r-1,k-1)}}}}$,

met een waarde minimaal 0 bij onderlinge onafhankelijkheid en maximaal 1 bij volledige samenhang.

De parameter ${\displaystyle V_{p}}$ kan geschat worden op basis van een steekproef uit de simultane verdeling van de variabelen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. De steekproef is gegeven in de vorm van de kruistabel met ${\displaystyle r}$ rijen en ${\displaystyle k}$ kolommen en waargenomen frequenties ${\displaystyle (n_{ij})}$ van de uitkomsten ${\displaystyle (A_{i},B_{j})}$. Een geschikte schatter is de steekproeffunctie, die ook aangeduid wordt als Cramérs V:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {\chi ^{2}/n}{\min(r-1,k-1)}}}}$

Daarin is ${\displaystyle \chi ^{2}}$ de chi-kwadraatgrootheid:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i,j}{\frac {{\big (}n_{ij}-{\frac {n_{i\cdot }n_{\cdot j}}{n}}{\big )}^{2}}{\frac {n_{i\cdot }n_{\cdot j}}{n}}}=n\sum _{i,j}{\frac {{\big (}{\frac {n_{ij}}{n}}-{\frac {n_{i\cdot }n_{\cdot j}}{n^{2}}}{\big )}^{2}}{\frac {n_{i\cdot }n_{\cdot j}}{n^{2}}}}}$,

met ${\displaystyle (n_{i\cdot })}$ en ${\displaystyle (n_{\cdot j})}$ respectievelijk de rij- en kolomsommen en ${\displaystyle n}$ de steekproefomvang, dus ook de totale som.

De steekproeffuncie ${\displaystyle V}$ kan ook gebruikt worden als toetsingsgrootheid.

• Kruistabel