Groep van het Lie-type

Een eerste benadering van deze vraag was de definitie en gedetailleerde studie van de zogenaamde klassieke groepen over eindige en andere velden. Vanaf de tijd van L.E. Dickson tot het boek van Jean Dieudonné werd er veel onderzoek op dit terrein gedaan. Emil Artin onderzocht bijvoorbeeld de orden van dergelijke groepen, dit met het oog op de classificatie van gevallen van coïncidentie.

Een klassieke groep is, ruwweg gesproken, een speciale lineaire-, orthogonale-, symplectische- of unitaire groep. Er zijn verschillende kleine variaties in deze. Dezen worden gegeven door het nemen van afgeleide deelgroepen van quotienting out door het centrum. Ze kunnen worden geconstrueerd over eindige velden (of enige ander veld) op vrijwel dezelfde manier, waarop ze over de reële getallen worden geconstrueerd. Zij corresponderen met de reeksen A_n, B_n, C_n, D_n, ²A_n, ²D_n van Chevalley- en Steinberg-groepen.

De theorie werd in het midden van de jaren 1950 verhelderd door de theorie van de algebraïsche groepen en het werk van Claude Chevalley over Lie-algebra's. Als gevolg hiervan werd het concept van een Chevalley-groep geïsoleerd. Chevalley construeerde een Chevalley-basis (een soort van integrale vorm) voor al de complexe enkelvoudige Lie-algebra's (of beter gezegd van hun universeel omhullende algebra's), die kunnen worden gebruikt om de corresponderende bijbehorende algebraïsche groepen over de gehele getallen te definiëren. In het bijzonder zou hij hun punten kunnen nemen met waarden in enig eindig veld. Voor de Lie-algebra's A_n, B_n, C_n, D_n gaf dit bekende klassieke groepen, maar zijn constructie gaf ook groepen die geassocieerd zijn met de uitzonderlijke Lie-algebra's E₆, E₇, E₈, F₄, en G₂. (Sommige van deze groepen waren al eerder geconstrueerd door Dickson.)

De constructie van Chevalley gaf niet alle van de bekende klassieke groepen: zij liet de unitaire groepen en de niet-gesplitste orthogonale groepen weg. Steinberg vond een wijziging in de bouw van de constructie van Chevalley, die deze missende groepen pluse een paar nieuwe families van groepen gaf. Deze constructie veralgemeende de gebruikelijke constructie van de unitaire groep uit de algemene lineaire groep.

De unitaire groep ontstaat als volgt: de algemene lineaire groep over de complexe getallen heeft een diagramautomorfisme dat wordt gegeven door het omkeren van de Dynkin-diagram ${\displaystyle A_{n}}$ om te keren (wat overeenkomt met het nemen van de getransponeerde inverse), en een veldautomorfisme, dat wordt gegeven door de complex geconjugeerde te nemen, die commuteren. De unitaire groep is de groep van vaste punten van het product van deze twee automorfismen.

Op dezelfde manier hebben veel Chevalley-groepen diagramautomorfismen die zijn geïnduceerd door automorfismen van hun Dynkin-diagrammen, en veldautomorfismen geïnduceerd door automorfismen van een eindig veld. Analoog aan het unitaire geval construeerde Steinberg families van groepen door vaste punten van een product van een diagram en een veldautomorfisme.

Deze gaven:

• De unitaire groepen ²A_n van het orde 2 automorfisme van A_n;
• Verder orthogonale groepen ²D_n van het orde 2 automorfisme van D_n;
• De nieuwe reeksen ²E₆, van het orde 2 automorfisme van E₆;
• De nieuwe reeksen ³D₄, van het orde 3 automorfisme van D₄.

De groepen van het type ³D₄ hebben geen analogon over de reéle getallen, zoals de complexe getallen geen automorfisme van orde 3 hebben. De symmetrieën van het ${\displaystyle D_{4}}$ diagram geven ook aanleiding tot trialiteit.