Bolcoördinaten

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

${\displaystyle J={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{bmatrix}}}$

Omgekeerd

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {zx}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&-y\\{\frac {y}{r}}&{\frac {zy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&x\\{\frac {z}{r}}&-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

${\displaystyle f_{B}(r,\theta ,\varphi )=f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta ).\,}$

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

${\displaystyle F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z)\,}$ en ${\displaystyle F_{z}(x,y,z)\,}$ ,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal ${\displaystyle r}$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van ${\displaystyle \varphi }$ en in de "richting" van ${\displaystyle \theta }$ , de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door ${\displaystyle r}$ in het vlak door ${\displaystyle r}$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door ${\displaystyle r}$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

${\displaystyle F_{r}=F_{x}\sin \theta \cos \varphi +F_{y}\sin \theta \sin \varphi +F_{z}\cos \theta }$

${\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin \varphi +F_{y}\cos \varphi }$

${\displaystyle F_{\varphi }=F_{x}\cos \theta \cos \varphi +F_{y}\cos \theta \sin \varphi -F_{z}\sin \theta }$

Omgekeerd:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi \sin \theta -F_{\varphi }\sin \varphi +F_{\theta }\cos \varphi \cos \theta }$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi \sin \theta +F_{\varphi }\cos \varphi +F_{\theta }\sin \varphi \cos \theta }$

${\displaystyle F_{z}=F_{r}\cos \theta -F_{\theta }\sin \theta }$

Een boloppervlak met straal ${\displaystyle R}$ heeft in bolcoördinaten de vergelijking ${\displaystyle r=R}$ indien als oorsprong het middelpunt van de bol wordt gekozen. Op het boloppervlak heeft men zo een coördinatenstelsel met de twee overige coördinaten. Bovengenoemde ${\displaystyle \theta }$ wordt vaak vervangen door zijn complement. Het verband tussen de cartesische coördinaten ${\displaystyle x,y,z}$ en de bolcoördinaten ${\displaystyle \theta ,\varphi }$ op het boloppervlak met straal ${\displaystyle r}$ wordt dan dus gegeven door:

${\displaystyle x=r\cos \theta \cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\cos \theta \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\sin \theta }$

Per toepassing, waaronder geografische coördinaten en diverse variaties van astronomische coördinatenstelsels, variëren de gebruikte termen, maar een systeem van gemeenschappelijke termen (eventueel tussen aanhalingstekens geschreven) is als volgt: voor ${\displaystyle \theta }$ breedte, voor ${\displaystyle \varphi }$ lengte, voor het punt ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ noordpool, voor het punt ${\displaystyle \theta =-\pi /2}$ zuidpool, en voor het vlak ${\displaystyle \theta =0}$ basisvlak, evenaar of equator.

Er kan nog gekozen worden in welke richting geldt dat de hierboven met ${\displaystyle \theta }$ aangeduide parameter nul is, en in welke daarop loodrechte richting ${\displaystyle \varphi =0}$ .

Geografische coördinaten corresponderen met een x-, y- en z-as volgens de rechterhandregel, met een positieve x-as die de Aarde snijdt in 0° NB 0° OL, een positieve y-as in 0° NB 0° OL en een positieve z-as in 90° NB. Als oosterlengte positief gerekend wordt correspondeert deze volgens de rechterhandregel met de positieve z-richting.

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Cilindercoördinaten