Combinatie (wiskunde)

Er is binnen de wiskunde sprake van een combinatie wanneer er $k$ elementen worden gekozen uit een verzameling van $n$ elementen, waarbij

ieder element hoogstens één maal gekozen wordt, ("zonder terugleggen") en
waarbij er niet gelet wordt op de volgorde van de elementen ("volgorde niet van belang").

Het aantal combinaties van $k$ elementen uit een verzameling van $n$ elementen wordt genoteerd als de binomiaalcoëfficiënt ${\binom {n}{k}}$ (spreek uit: "n over k"). De binomiaalcoëfficiënt komt voor als coëfficiënt in het Binomium van Newton, en dankt daaraan zijn naam. De binomiaalcoëfficiënt is te berekenen met de formule

{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+2)(n-k+1)}{k!}}={\frac {1}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}(n-i)

Een andere soms gebruikte notatie is $C_{n}^{k}$ .

Het uitroepteken staat voor het berekenen van de faculteit.

Bij de formule ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n(n-1)\ldots (n-k+2)(n-k+1)}{k!}}$ geldt dat in de noemer $k!$ staat, terwijl in de teller exact $k$ factoren staan, beginnend bij $n$ en aflopend in neerwaartse richting.

Het begrip kent ook uitbreidingen, waarbij in plaats van de natuurlijke getallen $n$ en $k$ het rechtse deel van de formule geldt voor een complex getal of reëel getal $z$ in plaats van het natuurlijk getal $n,$ maar waarbij $k$ wel een natuurlijk getal blijft. Die uitbreiding kent toepassingen in reeksen van complexe getallen.

Afleiding

Het aantal mogelijkheden om een geordende keuze te maken van $k$ verschillende elementen uit een totaal van $n$ elementen, wordt gegeven door ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ (zie: variatie). Bij een combinatie is (in tegenstelling tot bij een variatie) de volgorde niet van belang: het aantal mogelijkheden uit de variatie wordt daarom nog gedeeld door het aantal mogelijkheden om de $k$ getrokken elementen te rangschikken (de permutaties van $k$ ). Dit aantal mogelijkheden is gelijk aan $k$ -faculteit, geschreven als $k!.$ Hieruit volgt de formule ${\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$ .

Voorbeelden

Netwerk

Binnen een vermaasd netwerk met tien knooppunten wordt ieder knooppunt verbonden met alle andere knooppunten. Het aantal verbindingen is dus gelijk aan het aantal combinaties van twee elementen uit een verzameling bestaande uit tien elementen. Dit aantal is 45.

{\binom {10}{2}}={\frac {10!}{2!\cdot (10-2)!}}={\frac {10\cdot 9}{2\cdot 1}}=45

Commissie

Stel: bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Indien geen rekening wordt gehouden met functies zoals voorzitter, penningmeester, etc., is de volgorde van leden niet van belang. Dan is er sprake van een combinatie. Er zijn dus ${\tbinom {8}{3}}={\tfrac {8!}{3!\cdot (8-3)!}}={\tfrac {8!}{6!}}=56$ mogelijkheden om de commissie samen te stellen. Wanneer de precieze functie wél van belang is, is er sprake van een variatie.

Combinatie met herhaling

Wat hierboven staat zijn combinaties zonder herhaling. Combinaties met herhaling zijn daartoe terug te voeren. Bij keuze van $k$ elementen van $n$ verschillende types met herhaling bedraagt het aantal mogelijkheden:

{{(n+k-1)!} \over {k!(n-1)!}}={{n+k-1} \choose {k}}={{n+k-1} \choose {n-1}}

Voorbeeld: Er zijn $k=3$ dezelfde karweitjes die opgeknapt moeten worden door personen uit een groep van $n=10$ . De karweitjes kunnen door 3 verschillende personen gedaan worden, maar in het uiterste geval ook alle drie door dezelfde persoon. Elke mogelijkheid is een herhalingscombinatie; daarvan zijn er:

{\frac {(10+3-1)!}{3!(10-1)!}}=220,

namelijk:

{\tbinom {10}{1}}=10

met steeds 3 keer dezelfde persoon: 000, 111, ..., 999;

{\tbinom {10}{1}}{\tbinom {9}{1}}=90

met 2 keer dezelfde persoon en 1 andere: 001, 002, ...998;

{\tbinom {10}{3}}=120

met 3 verschillende personen: 012, 013, 014, ..., 789.

Zie ook

Permutatie

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.