Wet van Shannon-Hartley

De Shannoncapaciteit ${\displaystyle C}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle C={\text{B}}W\cdot \log _{2}(1+S/N)}$

waarin

${\displaystyle C}$ de kanaalcapaciteit is in bits per seconde;

${\displaystyle {\text{BW}}}$ de bandbreedte van het kanaal in Hertz is;

${\displaystyle S/N}$ de signaal-ruisverhouding is uitgedrukt als de ratio van het vermogen van het signaal over de ruis (niet in decibel).

Voor grote signaal-ruisverhoudingen kan de formule worden benaderd door:

${\displaystyle C=0{,}332\cdot {\text{BW}}\cdot {\text{SNR}}}$ (in dB)

Voor kleine signaal-ruisverhoudingen kan de formule worden benaderd door:

${\displaystyle C=1{,}44\cdot {\text{B}}W\cdot S/N}$ (als vermogensratio)

De wet is in 1948 door Shannon gepubliceerd en onder andere gebaseerd op werk van Hartley, die een wet formuleerde die zei dat informatie proportioneel is met het product van tijd en bandbreedte.

I) Een telefoonlijn heeft een typische bandbreedte van 3000 Hz en een signaal-ruisverhouding van 30 dB ofwel een signaal-ruisvermogensverhouding van 10^(30/10) wat gelijk is aan 1000. Nu geldt C = 3000·log₂(1000+1) ≈ 30.000 bits per seconde ofwel 30 kbps.

II) De benodigde bandbreedte voor het videosignaal van Europese analoge PAL televisiekanalen met 625 lijnen is 5 MHz. Voor een ruisvrij beeld is een signaal-ruisverhouding van minimaal 45 dB noodzakelijk. Het gehele televisiekanaal heeft inclusief geluid een bandbreedte (BW) nodig van 7 MHz. Dezelfde omroepkwaliteit met digitale video, gecodeerd met MPEG-2, benodigd ruwweg een bitstroom van maximaal 6,3 Mbps inclusief het geluid bij een signaal-ruisverhouding van minimaal 32 dB.
Deze 32 dB komt overeen met een S/N vermogensratio van 1585 : 1.

${\displaystyle {\text{BW}}={\frac {C}{\log _{2}(1+S/N)}}}$

${\displaystyle {\text{BW}}=6{,}3\cdot 10^{6}/(\log _{2}(1+1585))=592602\,{\text{Hz}}\approx 0{,}6\,{\text{MHz}}}$

Uit het laatste voorbeeld blijkt dat analoge televisie ten opzichte van kwalitatief dezelfde digitale variant niet bandbreedte-efficiënt is oftewel niet spectraal efficiënt.

Shannon gaf met deze wet dan wel aan wat de theoretische kanaalcapaciteit is, maar onthield zich van uitspraken over welke kanaalcoderingsmethode nodig is om dit te bereiken. Ongecodeerde QPSK zit voor een bitfoutkans van 10⁻⁶ bijna 9 dB bij de Shannonlimiet vandaan. Via de Hammingcode in 1950, de convolutiecodering in 1955, het Viterbi-algoritme, de Bose-Chaudhuri-Hocquenghemcodes en de Reed-Solomoncodes rond 1960 en Trellis-gecodeerde modulatie in 1987 kwam men steeds dichter bij de Shannonlimiet.

Een belangrijke doorbraak die communicatie zeer dicht bij de Shannonlimiet mogelijk maakt, was de uitvinding van Turbocodes in 1993. Turbocodes, samen met de in 1996 herontdekte Low-density Parity-check codes, worden toegepast in recente standaarden als WiMAX, DVB-S2 en UMTS.