BCH-code (coderingstheorie)

Om het begrip helder over te brengen, wordt als eerste een speciale klasse BCH-codes behandeld.

Definitie. Neem een eindig lichaam ${\displaystyle GF(q)}$ , waarbij ${\displaystyle q}$ de macht van een priemgetal is. Neem positieve gehele getallen ${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle n}$ , en ${\displaystyle d}$ zodanig dat ${\displaystyle n=q^{m}-1}$ en ${\displaystyle 2\leq d\leq n}$ . We construeren een polynoomcode over ${\displaystyle GF(q)}$ met bloklengte ${\displaystyle n}$ , en een minimum Hammingafstand van minstens ${\displaystyle d}$ . Wat nu nog dient te worden gespecificeerd is het genererend polynoom van deze code.

Zij ${\displaystyle \alpha }$ een primitieve n-de machts eenheidswortel ${\displaystyle GF(q^{m})}$ . Voor alle ${\displaystyle i}$ , duiden we als ${\displaystyle m_{i}(x)}$ aan het minimale polynoom van ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ met coëfficiënten in ${\displaystyle GF(q)}$ . Het genererend polynoom van de BCH-code is gedefinieerd als het kleinste gemeenschappelijke veelvoud ${\displaystyle g(x)={\rm {kgv}}(m_{1}(x),\ldots ,m_{d-1}(x))}$ .

Stel dat ${\displaystyle q=2}$ en ${\displaystyle m=4}$ (hieruit volgt dat ${\displaystyle n=15}$ ). We zullen meerdere waarden van ${\displaystyle d}$ behandelen. Er bestaat een primitieve wortel ${\displaystyle \alpha \in GF(16)}$ die voldoet aan

${\displaystyle \alpha ^{4}+\alpha +1=0}$ (1);

het bijbehordende minimale polynoom over ${\displaystyle GF(2)}$ is: ${\displaystyle m_{1}(x)=x^{4}+x+1}$ . Merk op dat in ${\displaystyle GF(2)}$ , de vergelijking ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+b^{2}}$ van toepassing is, waardoor geldt dat ${\displaystyle m_{1}(\alpha ^{2})=m_{1}(\alpha )^{2}=0}$ . Dus ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ is een wortel van ${\displaystyle m_{1}(x)}$ , en er geldt dus dat

${\displaystyle m_{2}(x)=m_{1}(x)=x^{4}+x+1}$ .

Om ${\displaystyle m_{3}(x)}$ te berekenen dienen we op te merken dat, door herhaald toepassen van vergelijking (1), de volgende lineaire vergelijkingen kunnen worden verkregen:

• ${\displaystyle 1=0\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+0\alpha +1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{3}=1\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+0\alpha +0}$
• ${\displaystyle \alpha ^{6}=1\alpha ^{3}+1\alpha ^{2}+0\alpha +0}$
• ${\displaystyle \alpha ^{9}=1\alpha ^{3}+0\alpha ^{2}+1\alpha +0}$
• ${\displaystyle \alpha ^{12}=1\alpha ^{3}+1\alpha ^{2}+1\alpha +1}$

De vijf rechterzijden moeten afhankelijk zijn, en inderdaad vinden we dat ${\displaystyle \alpha ^{12}+\alpha ^{9}+\alpha ^{6}+\alpha ^{3}+1=0}$ . Omdat er geen afhankelijkheid van kleinere graad bestaat, is het minimale polynoom van ${\displaystyle \alpha ^{3}}$ het polynoom ${\displaystyle m_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$ .

Op vergelijkbare wijze vinden we dat

${\displaystyle m_{4}(x)=m_{2}(x)=x^{4}+x+1,\,}$

${\displaystyle m_{5}(x)=x^{2}+x+1,\,}$

${\displaystyle m_{6}(x)=m_{3}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,\,}$

${\displaystyle m_{7}(x)=x^{4}+x^{3}+1.\,}$

• De BCH-code met ${\displaystyle d=1,\,2,\,3}$ heeft als genererend polynoom

${\displaystyle d(x)=m_{1}(x)=x^{4}+x+1.\,}$

De minimale Hamming-afstand is minstens 3 en hij corrigeert 1 bitfout. Omdat het genererend polynoom de graad 4 heeft, heeft deze code 11 data-bits en 4 checkbits.

• De BCH code met ${\displaystyle d=4,\,5}$ heeft als genererend polynoom

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x)&{}={\rm {kgv}}(m_{1}(x),m_{3}(x))=(x^{4}+x+1)(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})\\&{}=x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+1.\end{aligned}}}$

De minimale Hamming-afstand is minstens 5 en de code corrigeert 2 bitfouten. Omdat het genererend polynoom de graad 8 heeft, bevat deze code 7 data-bits en 8 checkbits.

• De BCH-code met ${\displaystyle d=6,\,7}$ heeft als genererend polynoom

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x)&{}={\rm {kgv}}(m_{1}(x),m_{3}(x),m_{5}(x))\\&{}=(x^{4}+x+1)(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(x^{2}+x+1)\\&{}=x^{10}+x^{8}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

De minimale Hamming-afstand is minstens 7 en de code corrigeert 3 bitfouten. Deze code heeft 5 data-bits en 10 checkbits.

• De BCH-code met ${\displaystyle d=8\,}$ en hoger heeft als genererend polynoom

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x)&{}={\rm {kgv}}(m_{1}(x),m_{3}(x),m_{5}(x),m_{7}(x))\\&{}=(x^{4}+x+1)(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4})(x^{2}+x+1)(x^{4}+x^{3}+1)\\&{}=x^{14}+x^{13}+x^{12}+\cdots +x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Deze code heeft minstens Hamming-afstand 15 en corrigeert 7 bitfouten. De code heeft 1 data-bit en 14 checkbits. Feitelijk bestaat deze code uit de volgende twee codewoorden: 000000000000000 and 111111111111111.

Algemene BCH-codes wijken op twee punten af van de hierboven behandelde eenvoudige BCH-codes. Ten eerste is de eis dat ${\displaystyle n=q^{m}-1}$ vervangen door een meer algemene eis. Ten tweede is het zo dat de opeenvolgende wortels van het generatorpolynoom niet bij ${\displaystyle \alpha ^{1}}$ hoeven te beginnen; voldoende is dus als de rij eruitziet als volgt: ${\displaystyle \alpha ^{c},\ldots ,\alpha ^{c+d-2}}$ (in plaats van ${\displaystyle \alpha ,\ldots ,\alpha ^{d-1}}$ ).

Definitie. Neem een eindig lichaam ${\displaystyle GF(q)}$ , waarbij ${\displaystyle q}$ een macht is van een priemgetal. Kies positieve gehele getallen ${\displaystyle m,n,d,c}$ zodat ${\displaystyle 2\leq d\leq n}$ , ${\displaystyle {\rm {ggd}}(n,q)=1}$ , en ${\displaystyle m}$ is de multiplicatieve orde van ${\displaystyle q}$ modulo ${\displaystyle n}$ (dat wil zeggen ${\displaystyle m}$ is de kleinste macht met de eigenschap dat ${\displaystyle q^{m}=1}$ modulo ${\displaystyle n}$ ).

Zoals hierboven is ${\displaystyle \alpha }$ een primitieve n-de machts eenheidswortel in ${\displaystyle GF(q^{m})}$ , en is (voor alle i) ${\displaystyle m_{i}(x)}$ het minimale polynoom over ${\displaystyle GF(q)}$ van ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ . Het generatorpolynoom van de BCH-code is nu gedefinieerd als het kleinste gemeenschappelijke veelvoud ${\displaystyle g(x)={\rm {kgv}}(m_{c}(x),\ldots ,m_{c+d-2}(x))}$ .

NB: als ${\displaystyle n=q^{m}-1}$ zoals in het eenvoudige geval, dan is ${\displaystyle {\rm {ggd}}(n,q)}$ gelijk aan 1, en is de orde van ${\displaystyle q}$ modulo ${\displaystyle n}$ automatisch gelijk aan ${\displaystyle m}$ . De 'eenvoudige' BCH-code is dus inderdaad een specifiek voorbeeld binnen de algemene BCH-codes.

1. Het generatorpolynoom van een BCH-code heeft als graad ten hoogste ${\displaystyle (d-1)m}$ . En als ${\displaystyle q=2}$ en ${\displaystyle c=1}$ , dan is de graad van het generatorpolynoom ten hoogste ${\displaystyle dm/2}$ .

Bewijs: elk minimaal polynoom ${\displaystyle m_{i}(x)}$ heeft als graad ten hoogste ${\displaystyle m}$ . Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van ${\displaystyle d-1}$ minimale polynomen heeft dus ten hoogste de graad ${\displaystyle (d-1)m}$ . En als ${\displaystyle q=2}$ , dan is ${\displaystyle m_{i}(x)=m_{2i}(x)}$ voor alle ${\displaystyle i}$ . Dus ${\displaystyle g(x)}$ is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van ten hoogste ${\displaystyle d/2}$ minimale polynomen ${\displaystyle m_{i}(x)}$ voor oneven indices ${\displaystyle i}$ , die elk ten hoogste de graad ${\displaystyle m}$ hebben.

2. Een BCH-code heeft als minimale Hamming-afstand ten minste ${\displaystyle d}$ . Bewijs in het eenvoudige geval (het bewijs voor het algemene geval is vergelijkbaar): Neem aan dat ${\displaystyle p(x)}$ een codewoord is met minder dan ${\displaystyle d}$ digits ongelijk aan nul. Dan is

${\displaystyle p(x)=b_{1}x^{j_{1}}+\cdots +b_{d-1}x^{j_{d-1}},{\text{ waarbij }}j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{d-1}.}$

We wisten dat ${\displaystyle \alpha ^{1},\ldots ,\alpha ^{d-1}}$ wortels zijn van ${\displaystyle g(x)}$ , en dus ook van ${\displaystyle p(x)}$ . Hieruit volgt dat ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{d-1}}$ aan de volgende vergelijkingen voldoen voor ${\displaystyle i=1,\ldots ,d-1}$ :

${\displaystyle p(\alpha ^{i})=b_{1}\alpha ^{ij_{1}}+b_{2}\alpha ^{ij_{2}}+\cdots +b_{d-1}\alpha ^{ij_{d-1}}=0}$ .

Dit delen we nu door ${\displaystyle \alpha ^{ij_{1}}}$ , en we definiëren ${\displaystyle k_{l}=j_{l}-j_{1}}$ , om als resultaat te verkrijgen

${\displaystyle b_{1}+b_{2}\alpha ^{ik_{2}}+\cdots +b_{d-1}\alpha ^{ik_{d-1}}=0}$

voor alle ${\displaystyle i}$ , hetgeen equivalent is met

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\alpha ^{k_{2}}&\cdots &\alpha ^{k_{d-1}}\\1&\alpha ^{2k_{2}}&\cdots &\alpha ^{2k_{d-1}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha ^{(d-1)k_{2}}&\cdots &\alpha ^{(d-1)k_{d-1}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{d-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

Deze matrix is een Vandermonde-matrix, en heeft als determinant

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq d-1}(\alpha ^{k_{j}}-\alpha ^{k_{i}})}$ ,

hetgeen ongelijk aan nul is. Hieruit volgt dat ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{d-1}=0}$ , en dus ${\displaystyle p(x)=0}$ .

3. Een BCH-code is cyclisch.

Bewijs: een polynoomcode met bloklengte ${\displaystyle n}$ is cyclisch dan en slechts dan als zijn generatorpolynoom een deler is van ${\displaystyle x^{n}-1}$ . Omdat ${\displaystyle g(x)}$ het minimale polynoom is met wortels ${\displaystyle \alpha ^{c},\ldots ,\alpha ^{c+d-2}}$ , behoeft slechts te worden gecontroleerd dat alle ${\displaystyle \alpha ^{c},\ldots ,\alpha ^{c+d-2}}$ wortel zijn van ${\displaystyle x^{n}-1}$ . Echter, dit volgt direct uit het feit dat ${\displaystyle \alpha }$ per definitie een ${\displaystyle n}$ de machts eenheidswortel is.

• Een BCH-code met ${\displaystyle c=1}$ wordt een BCH-code in engere zin genoemd.
• Een BCH-code met ${\displaystyle n=q^{m}-1}$ wordt primitief genoemd.

De hierboven beschouwde "eenvoudige" BCH-codes vormen precies de primitieve BCH-codes in engere zin.

• Een BCH-code in engere zin met ${\displaystyle n=q-1}$ wordt een Reed-Solomon code genoemd.