Storingsrekening

De volledige oplossing ${\displaystyle A}$ van het probleem kan benaderd worden door een formele machtreeks in de (kleine) storingsparameter ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\ldots }$

Daarin is ${\displaystyle A_{0}}$ de exacte oplossing van het verwante probleem en vormen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ successievelijke benaderingen die door een systematische procedure gevonden worden. Doordat ${\displaystyle \varepsilon }$ klein is, worden de hoger-ordebenaderingen steeds minder belangrijk. In veel gevallen volstaat het voor een goede benadering slechts de eerste twee termen mee te nemen:

${\displaystyle A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}}$

Een bijzonder grote klasse problemen die typisch worden opgelost met perturbatietheorie, zijn differentiaalvergelijkingen. Veel problemen, uit bijna alle takken van de exacte wetenschappen, geven aanleiding tot dit soort vergelijkingen. Voorbeelden zijn: de beweging van hemellichamen, de tijdsevolutie in thermodynamische systemen en de beschrijving van kwantummechanica.

Er zijn ook veel systemen die, indien perturbatietheorie wordt toegepast, aanleiding geven tot gelijksoortige vergelijkingen. Meer precies is de alomtegenwoordigheid van golven en oscillatiepatronen in de natuur, de economie, de ecologie, en andere vakgebieden terug te brengen tot het feit dat veel van deze systemen (tot op eerste orde in de perturbatieparameter ${\displaystyle \epsilon }$) aan hetzelfde type vergelijking voldoen.

De differentiaalvergelijking van een trilling met wrijving is:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\varepsilon {\dot {x}}^{2}+x=0,}$

met als beginvoorwaarden:

${\displaystyle x(0)=1}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$

Deze vergelijking, met de wrijvingscoëfficiënt ε als (kleine) storingsparameter, kan met storingrekening benaderd opgelost worden. De vergelijking kan verkregen worden uit de exact oplosbare diiferentiaalvergelijking voor de harmonische trilling

${\displaystyle {\ddot {x}}+x=0,}$

door toevoeging van de storingsterm

${\displaystyle \varepsilon {\dot {x}}^{2}.}$

Een eerste-ordebenadering van de oplossing is:

${\displaystyle x=x_{0}+\varepsilon x_{1}.}$

Door invullen in de differentiaalvergelijking ontstaat:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}+\varepsilon \ {\ddot {x}}_{1}+\varepsilon {\dot {x}}_{0}^{2}+2\varepsilon ^{2}{\dot {x}}_{0}{\dot {x}}_{1}+\varepsilon ^{3}{\dot {x}}_{1}^{2}+x_{0}+\varepsilon x_{1}=0.}$

In eerste orde levert dit dat de coëfficiënten van ε° en ε¹ gelijk moeten zijn aan 0. Voor ε° levert dat:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0}$

en voor de beginvoorwaarden:

${\displaystyle x_{0}(0)=1}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{0}(0)=0}$

met als oplossing:

${\displaystyle x_{0}(t)=\cos(t)}$

Voor ε¹ levert dat:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=-{\dot {x}}_{0}^{2}}$

en voor de beginvoorwaarden:

${\displaystyle x_{1}(0)=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(0)=0}$.

Dus:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=-\sin ^{2}(t)}$

met als oplossing:

${\displaystyle x_{1}(t)=-{\tfrac {1}{3}}(\cos(t)-1)^{2}}$

zodat in eerste orde de benaderde oplossing wordt:

${\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+\varepsilon x_{1}(t)=\cos(t)-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon \left(\cos(t)-1\right)^{2}}$.

Om een benadering van tweede orde te krijgen, stellen we:

${\displaystyle x=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}}$.

Invullen in de differentiaalvergelijking levert weer de bovengenoemde vergelijkingen voor ${\displaystyle x_{0}}$ en ${\displaystyle x_{1}}$. Voor ${\displaystyle x_{2}}$ krijgen we door nulstellen van de coëfficiënt van ε²:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}=-2{\dot {x}}_{0}{\dot {x}}_{1}={\tfrac {4}{3}}\sin ^{2}(t)(\cos(t)-1)}$

• Chapter II: Introduction to perturbation methods Johan Byström, Lars-Erik Persson, en Fredrik Strömberg. Website met verschillende hoofdstukjes over elementaire perturbatietheorie.
• Introduction to regular perturbation theory door Eric Vanden-Eijnden (PDF). Een korte introductie tot perturbatietheorie, met voorbeelden en toepassingen voor het oplossen van vergelijkingen.