Rotatiematrix

In twee dimensies wordt een draaiing om de oorsprong (tegen de klok in) over een hoek θ met de volgende matrix beschreven:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}.}$

Draaiing van het punt (x,y) levert het beeldpunt (x',y'), gegeven door:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=:{\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}}$

In drie dimensies wordt een draaiing om de z-as over een hoek θ (in positieve draaizin, tegen de klok in) met de volgende matrix beschreven. Deze matrices gelden enkel voor een rechtsdraaiend assenstelsel.

Om de z-as:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ \cos {\theta }&-\sin {\theta }&0\\\ \sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\\ 0&0&1\end{bmatrix}}}$

Om de x-as:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ 1&0&0\\\ 0&\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\ 0&\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}$

Om de y-as:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\theta }&0&\sin {\theta }\\\ 0&1&0\\-\sin {\theta }&0&\cos {\theta }\end{bmatrix}}}$

Wanneer opeenvolgende draaiingen uitgevoerd worden, bijvoorbeeld eerst een rotatie over α en daarna over β dan is het effect van de opeenvolgende rotaties gelijk aan een rotatie over de som α+β van de hoeken. In matrixvorm:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\beta }&-\sin {\beta }\\\sin {\beta }&\cos {\beta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos {\alpha }&-\sin {\alpha }\\\sin {\alpha }&\cos {\alpha }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\beta +\alpha )&-\sin(\beta +\alpha )\\\sin(\beta +\alpha )&\cos(\beta +\alpha )\end{bmatrix}}}$

Hieruit volgt/wordt gebruikgemaakt van de regels van Simpson.