Ridders-methode

De methode bepaalt voor de functie

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

die continu is op het interval ${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$ waarvoor geldt dat

${\displaystyle f(a_{0})f(b_{0})<0}$,

dus met functiewaarden van verschillend teken in de uiteinden van het interval, op iteratieve wijze een nulpunt. Het nulpunt wordt ingesloten door een rij krimpende intervallen ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$, waarvoor geldt:

${\displaystyle f(a_{n})f(b_{n})<0}$

en waarvoor het volgende deelpunt bepaald wordt door de recursieve definitie:

${\displaystyle x_{n+1}=\beta _{n}+{\tfrac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}){\frac {\operatorname {sgn}(f(a_{n}))\cdot f(\beta _{n})}{\sqrt {f^{2}(\beta _{n})-f(a_{n})\cdot f(b_{n})}}}}$

waarin

${\displaystyle \beta _{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+b_{n})}$

en ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ de functie signum is die het teken van x aangeeft.

De uitdrukking kan ook zonder gebruik van de functie signum geschreven worden:

${\displaystyle x_{n+1}=\beta _{n}+{\tfrac {1}{2}}(b_{n}-a_{n})\cdot {\frac {\cfrac {f(\beta _{n})}{f(a_{n})}}{\sqrt {\left({\cfrac {f(\beta _{n})}{f(a_{n})}}\right)^{2}-{\cfrac {f(b_{n})}{f(a_{n})}}}}}}$

Na de berekening van ${\displaystyle x_{n+1}}$ wordt er een nieuw interval ${\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]}$ bepaald met x_n+1 als een van de eindpunten en als ander eindpunt ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ of ${\displaystyle \beta _{n}}$, zo gekozen dat aan de gestelde voorwaarde is voldaan.

Als ${\displaystyle \beta _{n}}$ geen nulpunt is, geldt:

${\displaystyle x_{n+1}=\beta _{n}+{\tfrac {1}{2}}(b_{n}-a_{n}){\frac {\operatorname {sgn}(f(a_{n}))}{\sqrt {1-{\cfrac {f(a_{n})f(b_{n})}{f(\beta _{n})^{2}}}}}}.}$

Daaruit is te zien dat, afhankelijk van het teken van ${\displaystyle f(a_{n})}$, voor het nieuwe punt geldt:

${\displaystyle a_{n}<x_{n+1}<\beta _{n}}$ of ${\displaystyle \beta _{n}<x_{n+1}<b_{n}}$.

Voorbeeld Ridders-methode; functie in blauw, startwaarden in groen, iteraties in rood

Als voorbeeld nemen we de eenvoudige functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}/8-2}$ (de blauwe parabool in de grafiek). Deze functie snijdt de x-as voor ${\displaystyle x=4}$, maar dat gaan we bepalen met deze methode.

We moeten 2 startwaarden voor ${\displaystyle x}$ kiezen, we noemen ze ${\displaystyle x_{0}}$ en ${\displaystyle x_{1}}$. Ze hoeven maar aan één eis te voldoen; ${\displaystyle f(x_{0})}$ en ${\displaystyle f(x_{1})}$ moeten aan weerszijden van de x-as liggen.

We kiezen ${\displaystyle x_{0}=1}$ en ${\displaystyle x_{1}=5}$ (de groene lijnen in de grafiek). Merk op dat ${\displaystyle f(x_{0})}$ onder de x-as ligt (immers ${\displaystyle f(x_{0})=1^{2}/8-2=-1,875}$) en dat ${\displaystyle f(x_{1})}$ boven de x-as ligt (immers ${\displaystyle f(x_{1})=5^{2}/8-2=1,125}$). De startwaarden voldoen dus aan de weerszijden-eis.

Nu starten we de iterates met de Ridders-methode. We vinden de getallen voor achtereenvolgens ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ${\displaystyle x_{4}}$ en ${\displaystyle x_{5}}$ (de rode lijnen in de grafiek).

iteratie ${\displaystyle n}$	${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle f(x_{n})}$	${\displaystyle \beta }$
0	1,000000	−1,875000
1	5,000000	1,125000
			3,000000
2	1,967906	−1,515918
			3,483953
3	2,958282	−0,906071
			2,463094
4	3,962477	−0,037347
			3,460380
5	3,999811	−0,000189

Merk op dat na 4 iteraties de relatieve fout 50 per miljoen is; immers ${\displaystyle {\frac {4-3,999811}{4}}=47,25\cdot 10^{-6}}$.

De convergentie van Ridders-methode is gegarandeerd omdat x_n+1 binnen het interval [x_n−1,x_n] ligt. De convergentiesnelheid is van ordegrootte √2.