Signum (wiskunde)

Het signum is een eenvoudige wiskundige functie, die, zoals de naam al zegt, eigenlijk het teken van het argument aangeeft. Dus:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{als  }}x<0\\0&{\mbox{als  }}x=0\\1&{\mbox{als  }}x>0\end{cases}}

Signumkromme. Merk de nulwaarde in de oorsprong op

Eigenschappen

Elk reëel getal kan uitgedrukt worden als het product van zijn absolute waarde en zijn signumfunctie:

x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|

Voor $x\neq 0$ geldt:

\operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}

of

\operatorname {sgn}(x)={\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}

Voor $x\neq 0$ is de signumfunctie de afgeleide van de absolute waarde.

Behalve voor $x=0$ is de signumfunctie differentieerbaar met overal afgeleide 0.

Voorbeeld

Een voorbeeld van het gebruik van het signum is de volgende functie:

f(x)=(-\operatorname {sgn}(x)+x-1)^{0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5}\cdot (2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x))-2\cdot \operatorname {sgn}(x)-2

Deze functie is dezelfde als

f(x)={\begin{cases}4\cdot x&{\mbox{als  }}x<0\\0&{\mbox{als  }}x=0\\(x-2)^{2}-4&{\mbox{als  }}x>0\end{cases}}

De grafiek ziet er als volgt uit:

Grafiek met signum

Afleiding

Dat beide expressies aan elkaar gelijk zijn wordt hieronder toegelicht. Merk op dat

(-\operatorname {sgn}(x)+x-1)=x-0

voor

x

negatief

(-\operatorname {sgn}(x)+x-1)=x-2

voor

x

positief

0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5=1

voor

x

negatief

0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5=2

voor

x

positief

(2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x))=4

voor

x

negatief

(2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x))=1

voor

x

positief

2\cdot \operatorname {sgn}(x)=-2

voor

x

negatief

2\cdot \operatorname {sgn}(x)=2

voor

x

positief

De formule voor de functie is dus te interpreteren als:

f(x)=(x-{\mbox{''0 of 2''}})^{\mbox{''1 of 2''}}\cdot ({\mbox{''4 of 1''}})-{\mbox{''-2 of 2''}}-2

Dus als $x$ negatief is, is de functie: $f(x)=(x-0)^{1}\cdot 4+2-2$

of korter:

f(x)=x\cdot 4

Als $x$ positief is, is de functie: $f(x)=(x-2)^{2}\cdot 1-2-2$

of korter:

f(x)=(x-2)^{2}-4

Derhalve kunnen we de functie noteren als:

f(x)={\begin{cases}4\cdot x&{\mbox{als  }}x<0\\0&{\mbox{als  }}x=0\\(x-2)^{2}-4&{\mbox{als  }}x>0\end{cases}}

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.