Primitieve functie

Een functie ${\displaystyle F}$ is een primitieve functie van de functie ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle F}$ differentieerbaar is en de afgeleide van ${\displaystyle F}$ gelijk is aan ${\displaystyle f.}$

De bovenstaande definitie kan in verschillende contexten toegepast worden, al naargelang van wat men onder een differentieerbare functie verstaat. Meestal gaat het om een reëelwaardige functie die op een gegeven interval continu reëel differentieerbaar is. In de complexe analyse zal men de (strengere) eis van complexe differentieerbaarheid (holomorfie) opleggen. In de theorie van de Lebesgue-integraal zijn ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle f}$ klassen van onderling equivalente functies (functies die slechts op een nulverzameling verschillen), en dan is ${\displaystyle F}$ bijna overal reëel differentieerbaar, en is de afgeleide bijna overal gelijk aan ${\displaystyle f}$.

Als ${\displaystyle F}$ een primitieve is van ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle C}$ een constante, dan is ${\displaystyle F+C}$ eveneens een primitieve van ${\displaystyle f}$. Men zegt soms dat een primitieve "op een constante na bepaald is".

In de onderstaande voorbeelden is ${\displaystyle x}$ de onafhankelijke veranderlijke van een reële of complexe functie.

• ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle x+3}$ zijn primitieven van de constante 1.

• ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}}$ is een primitieve van ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \sin(x)}$ is een primitieve van ${\displaystyle \cos(x)}$

• Noteer ${\displaystyle 1_{R^{+}}(x)}$ voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle positieve ${\displaystyle x}$ en de waarde 0 elders. Noteer ${\displaystyle 1_{R^{-}}(x)}$ voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle negatieve ${\displaystyle x}$ en de waarde 0 elders. Dan is voor elke twee reële constanten ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ de functie ${\displaystyle \ln |x|+a\cdot 1_{R^{+}}(x)+b\cdot 1_{R^{-}}(x)}$ een primitieve van ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$. Merk op dat het domein van deze functie en haar primitieven de waarde ${\displaystyle x=0}$ uitsluit. Doordat het domein niet samenhangend is, zijn twee onafhankelijke constanten mogelijk.

Zij ${\displaystyle F}$ een primitieve van ${\displaystyle f}$ en laat het gesloten interval ${\displaystyle [a,b]}$ tot het inwendige van het domein van ${\displaystyle f}$ behoren. Dan geldt

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a)}$

met andere woorden, afgeleide en integraal zijn omgekeerde bewerkingen. Ook volgt hieruit dat een bepaalde integraal kan worden berekend met behulp van een onbepaalde integraal ofwel de primitieve.

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt ook in de Lebesgue-integratietheorie, op voorwaarde dat het gelijkteken als bijna overal gelijk geïnterpreteerd wordt.

Strikt genomen omvat integreren meer dan alleen het vinden van de primitieve van een functie, maar vaak wordt met 'integreren' alleen het bepalen van de primitieve aangeduid. Het vinden van de primitieve functie is een belangrijk onderwerp binnen de integraalrekening. In feite zijn alle berekeningen nodig om een integraal uit te rekenen, een onderdeel van het integreren.

Het minst gecompliceerd bij integreren is het bepalen van de primitieve van eenvoudige functies, zoals gegeven in een lijst van integralen. Voor het integreren van samengestelde functies bestaan verschillende technieken. De meestgebruikte technieken zijn integreren door substitutie, breuksplitsen en partieel integreren.

Sommige primitieve functies kunnen niet in elementaire functies worden uitgedrukt, zoals:

• ${\displaystyle \int e^{x^{2}}\,{\rm {d}}x}$
• de sinusintegraal: ${\displaystyle \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,{\rm {d}}x}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\ln(x)}}\,{\rm {d}}x}$