Plimpton 322

De voorzijde van Plimpton 322.

Plimpton 322 is een gedeeltelijk gebroken kleitablet, ongeveer 13 cm breed, 9 cm lang en 2 cm dik. De uitgever George A. Plimpton uit New York kocht de tablet van een archeologische handelaar, Edgar J. Banks, in 1922, en liet het met de rest van zijn verzameling na aan Columbia University in het midden van de jaren 30. Volgens Banks kwam de tablet uit Senkereh, een plaats in Zuid-Irak en waarschijnlijk was dit de oude stad Larsa[1].

Er wordt verondersteld dat dit tablet geschreven is tussen 1800 en 1650 v. Chr. Voor een deel is deze hypothese gebaseerd op de stijl van handschrift, die voor het spijkerschrift wordt gebruikt. Robson schrijft dat dit handschrift "typisch is voor documenten van Zuid-Irak van 4000-3500 jaar geleden"[1]. Plimpton 322 kan echter specifieker worden gedateerd in de periode 1822-1784 v.Chr. op grond van vergelijking van de afmetingen met andere tabletten uit Larsa met expliciete data.

Het kleitablet is alleszins zeer oud, waardoor er al enige beschadigingen zijn opgetreden. Aan de linkerkant en de onderkant zijn er stukken afgebroken. Linksboven en rechtsmidden zijn er enige beschadigingen, maar dat belette de twee onderzoekers, Otto E. Neugebauer en A. Sachs, in 1945 niet om een aantal raadsels te ontsluieren. Het zou volgens hen gaan om pythagorese drietallen, gehele getallen die een oplossing zijn voor de stelling van Pythagoras, namelijk a² + b² = c², zoals 3, 4 en 5[2].

De rechterkolom bevat de rijnummers en in de kolom links daarvan staan geen getallen, maar telkens dezelfde tekstjes, dat zoiets als 'rijnummer' betekent. Interessanter zijn de eerste drie kolommen. Eerst de tweede en de derde kolom, die we respectievelijk de b- en c-kolom noemen, want dan blijkt dat c² - b² steeds het kwadraat van een geheel getal a is. De getallen a, b en c vormen dus inderdaad een pythagorees drietal, een drietal waarvoor geldt dat a² + b² = c². Deze 4 kolommen zijn volgende getallen :

De getallen a zijn overigens niet op het kleitablet te vinden, maar ze hebben wel twee merkwaardige eigenschappen : elke a is groter dan de bijbehorende b, en elke a heeft alleen maar de priemfactoren 2, 3 en 5 in zijn priemontbinding. Dat zijn niet toevallig precies de priemfactoren van 60, de basis van het Babylonische talstelsel.

Nu de getallen in de eerste kolom. Die krijgen betekenis als je ze opvat als sexagesimale breuken. Dan zijn ze namelijk steeds gelijk aan de sexagesimale breukontwikkeling van ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,}$.

Juist omdat a alleen maar de priemfactoren 2, 3 en 5 bevat, breekt zo'n ontwikkeling na een eindig aantal stappen af, precies zoals in ons decimale stelsel een decimale ontwikkeling van een breuk alleen maar afbreekt als 2 en 5 (de priemfactoren van 10) de enige priemfactoren van de noemer zijn.

In The book of numbers[3] geven John Conway en Richard Guy een gereproduceerde reconstructie van de tabel zoals die er misschien oorspronkelijk heeft uitgezien. Zij hebben aan de linkerkant een kolom toegevoegd voor de getallen a, het aantal rijen tot 34 uitgebreid en enige kleine, voor de hand liggende correcties uitgevoerd.

Op de tiende rij bijvoorbeeld, vinden we door a = (1)(48) = 3600 + 48 × 60 = 6480, voor b = (1)(22)(41) = 3600 + 22 × 60 + 41 = 4961 en voor c = (2)(16)(1) = 2 × 3600 + 16 × 60 + 1 = 8161. Inderdaad is 6480² + 4961² = 8161². Op de tweede plaats in diezelfde rij staat de sexagesimale breuk 0, (35)(10)(2)(28)(27)(24)(26)(40) (hierbij is de 0 wel toegevoegd). Dit kan je schrijven als de breuk ${\displaystyle {\frac {24.611.521}{41.990.400}}\,}$, en dat is gelijk aan ${\displaystyle {\frac {4961^{2}}{6480^{2}}}\,}$.

Gemakkelijk te ontcijferen, maar misschien minder indrukwekkend, is de 28^ste rij, met a = 60, b = 11 en c = 61. In de tweede kolom staat de sexagesimale breuk 0, (2)(1) = ${\displaystyle {\frac {2}{60}}\,}$ + ${\displaystyle {\frac {1}{3600}}\,}$ = ${\displaystyle {\frac {121}{3600}}\,}$ = ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,}$. En inderdaad : 60² + 11² = 61².

In de Elementen van Euclides (ca. 300 v. Chr.) staat een methode om pythagorese drietallen te maken : kies gehele getallen p en q met p > q en vorm a = 2pq, b = p² - q² en c = p² + q², dan geldt a² + b² = c². De oude Babyloniërs zullen die methode ook wel gekend hebben. In elk geval kan Plimpton 322 ermee worden verklaard. De methode is algemeen bruikbaar, maar de maker van Plimpton 322 heeft speciale keuzes voor p en q gemaakt. Hij wilde dat elk getal a = 2pq alleen maar de priemfactoren 2, 3 en 5 zou bevatten. Dan moet hetzelfde voor p en q gelden. Getallen die correct zijn (we noemen ze reguliere getallen), vormen een reguliere rij : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, ...

Voor de getallen in de tabel geldt dan ook dat ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,}$ < 1, dus dat b < a. Dan moet p² - q² < 2pq zijn, oftewel (p - q)² < 2q² dus p < (1 + √2)q. Gecombineerd met 1 ≤ q < p levert dit de voorwaarde dat p en q reguliere getallen moeten zijn met 1 ≤ q < p < (1 + √2)q. En natuurlijk neem je ggd(p,q) = 1, want (kp, kq) geeft hetzelfde pythagorese drietal als (p,q) op een factor k² na.

Conway en Guy hebben waarschijnlijk alle reguliere paren (p,q) bepaald met q < 60, die aan de bovenstaande voorwaarden voldoen, de bijbehorende getallen a, b en c en ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,}$ uitgerekend en in de Babylonische notatie omgezet, en de rijen vervolgens gerangschikt naar dalende grootte van ${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,}$ (de tweede kolom in hun tabel). De eerste vijftien rijen van hun tabel komen dan overeen met Plimpton 322 op een paar gemakkelijk verklaarbare foutjes na die de Babylonische rekenaar destijds gemaakt moet hebben.

• Geschiedenis van de wiskunde

• D.E. Joyce - Plimpton 322 (1995)
• B. Casselman - The Babylonian tablet Plimpton 322
• J.J. O'Connor & E.F. Robertson - Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics (2000)