Planimeter

Basisprincipe van lineaire planimeter

In de nevenstaande figuur zien we het basisprincipe van de lineaire planimeter. De "elleboog" E kan zich bewegen langs een vaste rechte lijn. Het meten van een oppervlakte steunt op het meten van de oppervlakte van een rechthoek. We meten de oppervlakte van de rechthoek ABCD, door met het meetpunt M de contour van de rechthoek te volgen. Van A naar B doorloopt de meetarm het parallellogram ABB'A'. Het meetwieltje dat alleen loodrecht op de meetarm beweegt, meet de afstand PQ. De oppervlakte van het parallellogram is PQ × EM. Van C naar D wordt door de meetarm het parallellogram CC'D'D doorlopen, met oppervlakte P'Q' × EM, als P'Q' de afstand is afgelegd door het meetwieltje. Omdat het meetwieltje nu de andere kant opdaait wordt P'Q' afgetrokken van PQ. Nu is de oppervlakte van ABB'A' gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek ABB"A" en de oppervlakte van CC'D'D gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek CC"D"D. Het verschil van deze twee rechthoeken is juist de te meten rechthoek ABCD, waarvan dus de oppervlakte bepaald is door het product van de afstand PQ-P'Q' die het meetwieltje heeft afgelegd en de lengte EM van de meetarm. Tijdens de rondgang over de contour ABCD moeten we echter ook langs BC en DA. Het meetwieltje zal als we van B naar C gaan dezelfde afstand maar dan tegengesteld afleggen, als wanneer we van D naar A gaan. Netto verdraait het wieltje voor deze twee gedeelten niet. De totale afstand die het meetwieltje afgelegd heeft, vermenigvuldigd met de lengte van de meetarm, is dus gelijk aan de oppervlakte van derechthoek ABCD. En omdat de meetarm een vaste lengte heeft, kan de oppervlakte afgelezen worden aan de verdraaiing van het wieltje.

Benadering van de oppervlakte

Maar we moeten niet alleen rechthoeken kunnen opmeten, maar willekeurige gebieden. Een willekeurig gebied kunnen we wel benaderen door er allemaal rechthoekjes in te tekenen en al die rechthoekjes apart met de planimeter op te meten. Dat is een heel werk en langs elke zijde die een rechthoekje met een andere gemeen heeft, gaan we twee keer, in tegengestelde richtingen, zodat het meetwieltje netto niet verdraait. Het is dus voldoende als we langs de buitenomtrek van de rechthoeken lopen.

Door de rechthoeken heel klein te kiezen, benaderen we de contour van het gebied. Maar we volgen wel een traplijn, die veel langer is dan de contour en die niet kleiner wordt door de rechthoeken te verkleinen! De door het meetwieltje afgelegde afstand nadert echter wel naar de afstand die het wieltje zou afleggen als we de contour volgen. En het verschil in oppervlakte is kleiner dan de oppervlakte van alle kleine rechthoekjes op de traplijn rondom de contour en die oppervlakte kan willekeurig klein gemaakt worden.

De lineaire planimeter kan opgevat worden als een limietgeval van een polaire, waarvan de pool naar oneindig wegloopt en de elleboog op de vaste lijn komt te liggen.

Met de stelling van Green

Lineaire planimeter

Met de stelling van Green kunnen we exact aantonen dat de afstand die het wieltje aflegt, een maat is voor de te meten oppervlakte. We kiezen de y-as als de vaste rechte lijn waarlangs de elleboog E kan bewegen. Het andere uiteinde M van de meetarm volgt de contour C van de te meten figuur S.

We passen de stelling van Green toe op de componenten van het vectorveld N, gegeven voor |x| ≤ m door:

${\displaystyle N(x,y)=(-{\sqrt {m^{2}-x^{2}}},x)}$

Dit vectorveld staat loodrecht op de meetarm, immers:

${\displaystyle {\vec {EM}}\cdot N=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0}$

en heeft een vaste grootte, gelijk aan de lengte m van de meetarm:

${\displaystyle \|N\|=m}$

Het wieltje, dat alleen draait naarmate er een beweging is in de richting loodrecht op de meetarm, vooruit rollend bij een beweging in de richting van het vectorveld en achteruit in tegengestelde richting, rolt per saldo over een afstand die vermenigvuldigd met m bedraagt:

${\displaystyle \oint _{C}N\cdot (dx,dy)=\oint _{C}(N_{x}dx+N_{y}dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)dxdy=\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-0\right)dxdy=\iint _{S}1dxdy=A,}$

De oppervlakte is dus m maal de afstand die het wieltje per saldo rolt.

Polaire planimeter

In de nevenstaande figuur zien we het principe van de polaire planimeter, uitgevonden door de Zwitser Jakob Amsler. De "elleboog" E is verbonden met een draaias die om een vast draaipunt, hier de oorsprong, kan draaien. Het andere uiteinde M van de meetarm volgt de contour C van de te meten figuur S.

We passen de stelling van Green toe op de componenten van het vectorveld N, gegeven door:

${\displaystyle N(x,y)=(-y+b,x-a)}$.

Dit vectorveld staat loodrecht op de meetarm, immers:

${\displaystyle {\vec {EM}}\cdot N=(x-a)N_{x}+(y-b)N_{y}=0}$

en heeft een vaste grootte, gelijk aan de lengte m van de meetarm:

${\displaystyle \|N\|={\sqrt {(-y+b)^{2}+(x-a)^{2}}}=m}$

Dan blijkt dat het integreren van N over de contour juist de oppervlakte A oplevert van het gebied S dat door de contour C wordt omsloten. Het wieltje, dat alleen draait in de richting loodrecht op de meetarm, bepaalt, op de constante factor m na, juist deze integraal.

Dan is:

${\displaystyle \oint _{C}(N_{x}dx+N_{y}dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)dxdy}$,

Dus:

${\displaystyle \oint _{C}N\cdot (dx,dy)=\oint _{C}((-y+b)dx+(x-a)dy)=\iint _{S}\left({\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}+{\frac {\partial (y-b)}{\partial y}}\right)dxdy=A}$

want:

${\displaystyle {\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}+{\frac {\partial (y-b)}{\partial y}}=1}$

Immers, met d de lengte van de draaiarm, is:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=d^{2}\,}$

zodat:

${\displaystyle a{\frac {\partial a}{\partial x}}+b{\frac {\partial b}{\partial x}}=0}$ en dus ${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial x}}=-{\frac {a}{b}}{\frac {\partial a}{\partial x}}}$

Ook is, met m de lengte van de meetarm:

${\displaystyle (a-x)^{2}+(b-y)^{2}=m^{2}\,}$

zodat:

${\displaystyle (x-a){\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}+(y-b){\frac {\partial (y-b)}{\partial x}}=0}$

Daaruit volgt:

${\displaystyle b(x-a){\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}=(y-b)b{\frac {\partial b}{\partial x}}=-(y-b)a{\frac {\partial a}{\partial x}}=-a(y-b)+a(y-b){\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}}$

Dus:

${\displaystyle {\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}={\frac {a(y-b)}{ay-bx}}}$

Analoog:

${\displaystyle {\frac {\partial (y-b)}{\partial y}}={\frac {b(x-a)}{bx-ay}}}$

Zodat:

${\displaystyle {\frac {\partial (x-a)}{\partial x}}+{\frac {\partial (y-b)}{\partial y}}=1}$

Voor ay-bx = 0 liggen de beide armen in elkaars verlengde. Dat is een ongewenste situatie die tot een onvoorspelbare beweging van de meetarm voert.

Een variant van de lineaire planimeter is de schijfplanimeter. Om problemen door glad, ruw of gescheurd kaartmateriaal, of ander materiaal waarop het te meten gebied is getekend, te omzeilen, loopt het meetwieltje bij de schijfplanimeter onder steeds dezelfde condities over een speciale schijf die tot het instrument behoort. Omdat de beweging van de meetarm overgebracht moet worden, is er bij de schijfplanimeter van deze gelegenheid gebruikgemaakt om de overbrengingsverhouding aan te passen voor een grotere nauwkeurigheid. Een schijfplanimeter is uitgevoerd als lineaire planimeter met roller.

• Curvimeter