Oppervlaktetraagheidsmoment

De doorbuiging van een balk is omgekeerd evenredig met het oppervlaktetraagheidsmoment I van betreffende balkdoorsnede en de elasticiteitsmodulus E; bij een geschematiseerde balk met een eenzijdige inklemming, de lengte L en een puntlast F op de vrije uiteinde geldt:

${\displaystyle w={\frac {FL^{3}}{3EI}}}$.

In de werktuigbouwkunde, industriële vormgeving, civiele techniek en bouwkunde zoekt men dan ook balken met een zo hoog mogelijk traagheidsmoment in de draagrichting met een laag materiaalverbruik. Een platte balk zal vrij veel doorbuigen. Een vierkante balk heeft een hogere I en zal een stuk minder doorbuigen. Een I-profiel heeft een zeer grote I, doordat een groot deel van zijn oppervlakte op een grote afstand tot het zwaartepunt ligt. De hoogte van de balk werkt namelijk tot de 3de macht mee terwijl de breedte van de balk tot de eerste macht meewerkt (zie de formule). Voor een rechthoekige balk is dit 1/12 * breedte * hoogte tot de derde macht = (1/12)bh³.

In sommige, op technische toepassingen gerichte, literatuur wordt de formule gedefinieerd als:

${\displaystyle \ I_{z}=\int _{A}{y^{2}dA}}$ in plaats van ${\displaystyle \ I_{yy}=\int _{A}{y^{2}dA}}$

${\displaystyle \ I_{y}=\int _{A}{z^{2}dA}}$ in plaats van ${\displaystyle \ I_{zz}=\int _{A}{z^{2}dA}}$

Bekijk daarom eerst hoe het statisch moment gedefinieerd is; de bovenste vergelijkingen betreffen de traagheidsmoment om de z-as, de onderste is om de y-as.

Voor een tweedimensionaal object is het oppervlaktetraagheidsmoment als volgt gedefinieerd:

${\displaystyle I=\int _{A}r^{2}\cdot dA}$

met dA een oppervlakte-element, zodat I eenheden van lengte tot de vierde macht heeft. In onderstaande voorbeelden is r telkens de afstand tot een as door het zwaartepunt. Met behulp van de Stelling van Steiner kan het moment rond een willekeurige as berekend worden.

Beschrijving	Oppervlaktetraagheidsmoment
rechthoek met hoogte h en breedte b	${\displaystyle I_{0}={bh^{3} \over 12}}$
cirkel met straal r	${\displaystyle I_{0}={\pi r^{4} \over 4}}$
halve cirkel met straal r op de x-as	${\displaystyle I_{0}={\pi r^{4} \over 8}}$
kwart cirkel met straal r	${\displaystyle I_{0}={\pi r^{4} \over 16}}$
ellips, met lange as a en korte as b	${\displaystyle I_{0}={\pi ab^{3} \over 4}}$
driehoek met basis b en hoogte h	${\displaystyle I_{0}={bh^{3} \over 36}}$

• Statisch moment
• Weerstandsmoment