Open afbeeldingsstelling

Banach[1] formuleert de stelling in termen van rijen in F-ruimten, dat zijn topologische vectorruimten waarvan de topologie wordt voortgebracht door een volledige tranlatie-invariante metriek. Elke Banachruimte is per definitie een F-ruimte.

Als een continue lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ een F-ruimte ${\displaystyle X}$ surjectief afbeeldt op een F-ruimte ${\displaystyle Y,}$ en ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n},\ldots )}$ is een rij in ${\displaystyle Y}$ die convergeert naar ${\displaystyle y=f(x)\in Y,}$ dan bestaat er een rij ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots )}$ in ${\displaystyle X}$ die naar ${\displaystyle x}$ convergeert en zodanig dat voor elke ${\displaystyle n}$ geldt ${\displaystyle f(x_{n})=y_{n}}$

Een herformulering met open verzamelingen, hier in het geval van Banachruimten, luidt:[2]

Zij ${\displaystyle f:X\to Y}$ een surjectieve continue lineaire afbeelding tussen Banachruimten, dan is het beeld onder ${\displaystyle f}$ van een open deel van ${\displaystyle X}$ steeds een open deel van ${\displaystyle Y.}$

Het bewijs maakt gebruik van de categoriestelling van Baire, en de volledigheid van zowel X als Y is van essentieel belang voor deze stelling. De bewering in deze stelling gaat niet langer op als een van beide ruimten slechts een genormeerde vectorruimte is, maar is waar als zowel X als Y als Fréchet-ruimten worden genomen.

De rol van Baire-categorieën wordt uitdrukkelijker in de volgende veralgemening:[3][4]

Als ${\displaystyle f:X\to Y}$ een continue lineaire afbeelding is van een F-ruimte ${\displaystyle X}$ naar een topologische vectorruimte ${\displaystyle Y,}$ en ${\displaystyle f(X)}$ is van de tweede categorie in ${\displaystyle Y,}$ dan is ${\displaystyle f(X)=Y,}$ ${\displaystyle Y}$ is eveneens een F-ruimte en ${\displaystyle f}$ is een open afbeelding.

• (en) open mapping theorem op PlanetMath