F-ruimte

Een ${\displaystyle F}$-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek die (als metrische ruimte) volledig is.[1] Hierbij heet een metriek ${\displaystyle d:X\times X\to {\mathbb {R} }^{+}}$ translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector:

${\displaystyle \forall x,y,z\in X:d(x,y)=d(x+z,y+z)}$

Deze definitie veralgemeent die van een Fréchet-ruimte doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij Fréchet-ruimten, en anderen nemen lokale convexiteit op in de definitie van een ${\displaystyle F}$-ruimte.[2]

Dit tweedimensionale model geeft een idee waarom de oneindigdimensionale ${\displaystyle L^{p}}$ voor ${\displaystyle 0<p<1}$ niet lokaal convex zijn. De eenheidsbol in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ voor de afstandsfunctie ${\displaystyle d(x,y)=(x_{1}-x_{2})^{2/3}+(y_{1}-y_{2})^{2/3}}$ is een niet-convexe figuur afgebakend door een astroïde

Alle Fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle Banachruimten, zijn ${\displaystyle F}$-ruimten.

Voorbeelden van ${\displaystyle F}$-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de ${\displaystyle L^{p}}$-ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval ${\displaystyle [0,1]}$ voor gegeven vaste ${\displaystyle p}$ met ${\displaystyle 0<p<1.}$

De functie

${\displaystyle d(f,g)=\int _{x=0}^{1}|f(x)-g(x)|^{p}\ dx}$

is een translatie-invariante metriek op ${\displaystyle L^{p}}$, en ${\displaystyle (L^{p},d)}$ is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.[3]