Normale ruimte

Een topologische ruimte ${\displaystyle X}$ is normaal als ${\displaystyle X}$ aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• ${\displaystyle X}$ heeft de ${\displaystyle T_{1}}$-eigenschap,
• Gegeven twee disjuncte gesloten deelverzamelingen ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$ van ${\displaystyle X}$, bestaan er disjuncte open deelverzamelingen ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle V}$ van ${\displaystyle X}$ die respectievelijk ${\displaystyle E}$ en ${\displaystyle F}$ bevatten.

De definitie is equivalent met de volgende uitspraak:

Gegeven een gesloten deelverzameling ${\displaystyle E}$ van ${\displaystyle X}$ en een open deelverzameling ${\displaystyle U}$ van ${\displaystyle X}$ die ${\displaystyle E}$ bevat, bestaat er een open deelverzameling ${\displaystyle V}$ van ${\displaystyle X}$ die ${\displaystyle E}$ bevat en waarvoor geldt ${\displaystyle {\overline {V}}\subseteq U}$.

De volgende topologische ruimten zijn voorbeelden van normale ruimtes.

• Metrische ruimten zijn normaal.
• Compacte Hausdorff ruimten zijn normaal.
• De Sorgenfrey-rechte (en) ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ is normaal, maar het Sorgenfrey-vlak (en) ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }^{2}}$ is niet normaal. Dit is een voorbeeld van een topologisch product van twee normale ruimten dat zelf niet normaal is. Het Sorgenfrey-vlak is eveneens een voorbeeld van een reguliere ruimte die niet normaal is.
• Een gesloten deelruimte van een normale topologische ruimte is normaal.

Geplaatst op: 18-09-2009

Dit artikel is een beginnetje over wiskunde. U wordt uitgenodigd om op bewerken te klikken om uw kennis aan dit artikel toe te voegen.