Middelpuntzoekende versnelling

Bij een eenparige beweging zorgt een versnelling voor een snelheidsverandering (dus een eenparig versnelde beweging). Bij een cirkelbeweging verandert de snelheid niet van grootte maar alleen van richting. De cirkelbeweging ís eenparig in grootte. De versnellingsvector staat steeds loodrecht op de richtingsvector van de snelheid: de richting van de beweging verandert voortdurend.

Volgens de eerste wet van Newton (de traagheidswet) neigt een voorwerp rechtdoor te gaan (niet van snelheid en richting te veranderen), in het geval van een cirkelbaan langs een raaklijn aan de baan. Maar door de middelpuntzoekende kracht die geleverd wordt door bijvoorbeeld een touw blijft het voorwerp in zijn cirkelbaan. Men kan de middelpuntzoekende versnelling die bij deze kracht hoort als volgt berekenen:

${\displaystyle F=F_{mpz}}$

Het wordt herleid:

${\displaystyle ma={\frac {mv^{2}}{r}}}$

De versnelling a is gelijk aan middelpuntzoekende kracht.

${\displaystyle a_{mpz}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}}$

Waarbij geldt:

• ${\displaystyle a_{mpz}}$ is de middelpuntzoekende versnelling in ${\displaystyle m/s^{2}}$
• ${\displaystyle v}$ is de snelheid in ${\displaystyle m/s}$
• ${\displaystyle r}$ is de straal in ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle \omega }$ is de hoeksnelheid in ${\displaystyle rad/s}$. (Rad is radiaal.)
• ${\displaystyle T}$ is de omlooptijd in ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle \pi }$ is pi, de constante van Archimedes

Vectorieel kan men ook schrijven:

a = ω x v

Deze formule werd het eerst afgeleid door Christiaan Huygens met behulp van gelijkvormige driehoeken. Deze worden gevormd door enerzijds de straalvector ${\displaystyle r}$ en zijn infinitesimale verandering ${\displaystyle dr}$, en anderzijds de snelheidsvector ${\displaystyle v}$ en zijn verandering ${\displaystyle dv}$. De vectoren ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle dv}$ lopen langs een raaklijn aan de cirkel, ${\displaystyle dr}$ en ${\displaystyle r}$ staan hier haaks op.

In de gelijkvormige driehoeken zijn de verhoudingen tussen corresponderende zijden gelijk. Met r en v de groottes van de betreffende vectoren en dr en dv de groottes van de veranderingen van de betreffende vectoren krijgen we:

${\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {dv}{v}}}$

Omdat ${\displaystyle dr=vdt}$ (weg = snelheid x tijd) wordt dit

${\displaystyle {\frac {vdt}{r}}={\frac {dv}{v}}}$

waaruit met kruislings vermenigvuldigen volgt

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=a={\frac {v^{2}}{r}}}$