Mellin-transformatie

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de Mellin-transformatie een integraaltransformatie die kan worden beschouwd als de multiplicatieve versie van de tweezijdige Laplace-transformatie. Deze integraaltransformatie is nauw verbonden met de theorie van de Dirichlet-reeksen en wordt vaak gebruikt in de getaltheorie, wiskundige statistiek en de theorie van asymptotische expansies; de Mellin-transformatie is nauw gerelateerd aan de Laplace-transformatie, de Fourier-transformatie, de theorie van de gammafunctie en daaraan gerelateerde speciale functies.

De Mellin-transformatie van een functie f is

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$

De inverse transformatie is

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,\mathrm {d} s}$

De notatie impliceert dat er een lijnintegraal wordt genomen over een verticale lijn in het complexe vlak. Condities waaronder deze inverse valide is worden gegeven in de inversestelling van Mellin.

De transformatie is vernoemd naar de Finse wiskundige Hjalmar Mellin.