Integraaltransformatie

In de wiskunde is een integraaltransformatie een transformatie ${\displaystyle T}$ van de vorm:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,\mathrm {d} t}$

Daarin is de functie ${\displaystyle K}$ de bij de transformatie behorende integraalkern, ook kort met kern aangeduid.

De transformatie voegt aan een functie ${\displaystyle f}$ een andere functie ${\displaystyle Tf}$ toe, die voor sommige toepassingen wel geschikt is voor verdere analyse, terwijl de oorspronkelijke functie dat niet is.

Een integraaltransformatie is geheel vergelijkbaar met een lineaire afbeelding in de lineaire algebra. Voor een dergelijke afbeelding ${\displaystyle T}$ laat het beeld ${\displaystyle Tx}$ van de vector ${\displaystyle x}$ zich ten opzichte van gekozen bases op de gebruikelijke manier schrijven als:

${\displaystyle (Tx)_{u}=\sum _{t}x_{t}K_{tu}}$

waarin ${\displaystyle K}$ de bijbehorende matrix van ${\displaystyle T}$ is, en ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle t,}$ de indices zijn. Hierin is duidelijk de anologie met de bovenstaande definitie zien.

Er bestaan heel wat nuttige integraaltransformaties, corresponderend met verschillende keuzes van de integraalkern ${\displaystyle K}$ en de integraalgrenzen.

Tabel van Integraaltransformaties

Transformatie	Symbool	Kern	t1	t2
Fourier-transformatie	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Mellin-transformatie	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Tweezijdige Laplace-transformatie	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Laplace-transformatie	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Hankel-transformatie		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Abel-transformatie		${\displaystyle {\frac {t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$
Hilbert-transformatie	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Identiteitstranformatie		${\displaystyle \delta (u-t)\,}$	${\displaystyle t_{1}<u}$	${\displaystyle t_{2}>u}$

Hoewel de eigenschappen van de verschillende integraaltransformaties sterk variëren, hebben ze enkele eigenschappen gemeen. Elke integraaltransformatie is bijvoorbeeld een lineaire functionaal, aangezien de integraal lineair is. Indien als kern elke gegeneraliseerde functie is toegelaten, zijn alle lineaire functionalen integraaltransformaties (dit wordt geformuleerd in een belangrijke stelling door Schwartz).