Lemma van Burnside

Het lemma van Burnside, soms ook wel de telstelling van Burnside, het lemma van Cauchy-Frobenius of de baantellingstelling genoemd, is een resultaat in de groepentheorie dat vaak van pas komt, als bij het tellen van wiskundige objecten rekening moet worden gehouden met symmetrie. De verschillende namen die met het lemma verbonden worden, zijn William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy en Ferdinand Georg Frobenius. Het resultaat is niet gevonden door Burnside; die citeert het lemma alleen in zijn boek 'On the Theory of Groups of Finite Order'. Burnside schreef het lemma toe aan Frobenius.[1]

Laat ${\displaystyle G}$ een eindige groep van transformaties van een verzameling ${\displaystyle X}$ zijn, en ${\displaystyle X^{g}}$ voor elke ${\displaystyle g\in G}$ de verzameling van elementen in ${\displaystyle X}$ die invariant zijn onder ${\displaystyle g,}$ d.w.z. ${\displaystyle X^{g}=\{x\in X\mid gx=x\}.}$ De beeldverzamelingen ${\displaystyle Gx}$ van de elementen ${\displaystyle x\in X}$ onder de groep zijn de banen ${\displaystyle X/G}$ in ${\displaystyle X}$

Het lemma van Burnside geeft een uitdrukking voor het aantal banen[2]

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.}$

Het aantal banen is een natuurlijk getal of oneindig, en gelijk aan het gemiddelde aantal invariante elementen, dat dus een natuurlijk getal of oneindig is.

Het lemma geldt niet voor een oneindige groep, aangezien de daarin gegeven uitdrukking dan niet gedefinieerd is. In dat geval geldt de volgende stelling in de kardinaalrekenkunde:

${\displaystyle |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|=\max _{g\in G}|X^{g}|.}$