Kwantor (logica)

De twee belangrijkste kwantoren zijn de existentiekwantor "${\displaystyle \exists }$" (of "E") en de universele kwantor "${\displaystyle \forall }$" (of "A").

"${\displaystyle \exists x}$", "${\displaystyle \exists x}$${\displaystyle \mid }$" of ook "${\displaystyle \exists x}$${\displaystyle :}$" betekent "Er bestaat een ${\displaystyle x}$ (waarvoor geldt):".

"${\displaystyle \forall y}$", "${\displaystyle \forall y}$${\displaystyle \mid }$" of ook "${\displaystyle \forall y}$${\displaystyle :}$" betekent "Voor alle ${\displaystyle y}$ (geldt):".

Formeler is dit ook zo voor te stellen:

${\displaystyle \exists xP}$ = ${\displaystyle Er}$ ${\displaystyle bestaat}$ ${\displaystyle een}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle waarvoor}$ ${\displaystyle geldt}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \forall yQ}$ = ${\displaystyle Voor}$ ${\displaystyle alle}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle geldt}$ ${\displaystyle Q}$

Bij de existentiekwantor worden wel toevoegingen gebruikt zoals ${\displaystyle \exists !x}$ (unieke existentiekwantor) en in mindere mate ${\displaystyle \exists ^{=n}y}$ die respectievelijk betekenen "Er bestaat precies één ${\displaystyle x}$ waarvoor geldt:" en "Er bestaan precies ${\displaystyle n}$ verschillende ${\displaystyle y}$ waarvoor geldt:".

In principe zijn dit slechts verkortingen. ${\displaystyle \exists !x}$ is ook uit te drukken als ${\displaystyle \exists x\ B(x)\land (\forall y,z\ (B(y)\land B(z))\implies y=z))}$,

Met het teken voor "niet" (${\displaystyle \lnot }$) kan in de klassieke logica de ene kwantor in de andere worden uitgedrukt:

1. :${\displaystyle {\exists x\ A(x)}=\lnot {\forall x\ \lnot A(x)}}$

2. :${\displaystyle {\forall x\ A(x)}=\lnot {\exists x\ \lnot A(x)}}$

Andere gelijkheden zijn:

3. :${\displaystyle \exists x\ \lnot A(x)=\lnot \forall x\ A(x)}$

4. :${\displaystyle \lnot \exists x\ A(x)=\forall x\lnot \ A(x)}$

In de intuïtionistische formele logica gelden equivalenties 1 en 3 niet van rechts naar links.

Normaal gesproken wordt een kwantor enkel gebruikt voor logische predicaten, die dus alleen waar of onwaar als uitkomst kunnen hebben. Andere bondige notaties die variabelen binden, kan men ook als 'kwantoren' weergeven, hoewel dit dan geen 'echte' kwantoren zijn.

• telkwantor N: telt het aantal keren dat een bepaald predicaat waar is
• somkwantor Σ of S: bekender in een andere notatie als het sommatiesymbool
• productkwantor Π of P: bekender in een andere notatie als het productsymbool
• minimumkwantor MIN: de minimumwaarde van het argument over het domein van de kwantor
• maximumkwantor MAX: de maximumwaarde van het argument over het domein van de kwantor

Op deze wijze kan men allerhande kwantoren definiëren om op een bondige manier een uitspraak te noteren.