Kruislings vermenigvuldigen

Kruislings vermenigvuldigen is de benaming voor een rekenkundige handeling om een vergelijking tussen twee verhoudingen (evenredigheid) te vereenvoudigen. Daarbij wordt de noemer van het linkerlid vermenigvuldigd met de teller van het rechterlid, en de teller van het linkerlid vermenigvuldigd met de noemer van het rechterlid. Beide vermenigvuldigingen stelt men dan aan elkaar gelijk. De vergelijking ${\frac {20}{10}}={\frac {4}{y}}$ wordt door kruislings vermenigvuldigen vereenvoudigd tot $20y=40$ , waaruit weer volgt dat $y=2$ .

In formulevorm:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Rightarrow ad=bc.

Indien $bd\neq 0$ geldt ook het omgekeerde:

ad=bc\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}.

Externe link

Een kruislingse vermenigvuldiging uitrekenen

Achtergrond

De achtergrond van dit "trucje" is dat beide zijden van de vergelijking met hetzelfde reële getal vermenigvuldigd kunnen worden, zonder dat de vergelijking verandert. In bovenstaande formulering kunnen beide zijden met het getal "bd" vermenigvuldigd worden, waarna volgt ad = bc.

De regel geldt in elke algebraïsche structuur met een zinvolle deling (de breukstreep); in de praktijk is dit meestal de structuur van een lichaam, waar ieder van nul verschillend element inverteerbaar is voor de vermenigvuldiging.

Anderzijds kan kruislings vermenigvuldigen dienen om het breukbegrip te definiëren uitgaande van de gehele getallen of algemener van een (meestal nuldelervrije) commutatieve ring.

Geschiedenis

Deze Regel van drie of Regel van drieën gaat terug op stelling 19 boek 7 van de Euclides' Elementen. Frans van Schooten vertaalde dit als volgt:

"19. So vier gethallen proportionael sijn is 't product van het 1ste en 4de, gelijck van 't 2de en 3de ende so 't product van het 1ste en 4de met van't 2de en 3de sijn deze getallen proportionael. Volcht exempel.
1 2 3 4
8 12 18 27
12 × 18 = 216 product 27 × 8 = 216 product"

[1][2]

Regel van Drie

In de lagere school vormt de Regel van Drie[3] een eenvoudige methode om een dergelijke vraagstelling in drie zinnetjes op te lossen, bij voorbeeld:

Vraagstelling: Als een fles jenever van 70 cl 21 euro kost, hoeveel kost dan een borrel van 3 cl ?

Oplossing:

70 cl kost 21 euro.
1 cl kost 70 maal minder of 21/70 = 0,3 euro.
3 cl kost 3 maal meer of 3 × 21/70 = 0,9 euro.

Referenties

(nl) fransvanschooten.nl Frans van Schooten: Sevende Boeck bladzijde 97-98. "19. So vier gethallen proportionael sijn is 't product van het 1ste en 4de, gelijck van 't 2de en 3de ende so 't product van het 1ste en 4de met van't 2de en 3de sijn deze getallen proportionael. Volcht exempel.
1 2 3 4
8 12 18 27
12 × 18 = 216 product 27 × 8 = 216 product"
(en) mathcs.clarku.edu Euclid's Elements Book VII Proposition 19. Geraadpleegd op 6 oktober 2019.
De Regel Van 3, m.youtube.com

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] (nl) fransvanschooten.nl Frans van Schooten: Sevende Boeck bladzijde 97-98. "19. So vier gethallen proportionael sijn is 't product van het 1ste en 4de, gelijck van 't 2de en 3de ende so 't product van het 1ste en 4de met van't 2de en 3de sijn deze getallen proportionael. Volcht exempel.
1 2 3 4
8 12 18 27
12 × 18 = 216 product 27 × 8 = 216 product"

[2] (en) mathcs.clarku.edu Euclid's Elements Book VII Proposition 19. Geraadpleegd op 6 oktober 2019.

[3] De Regel Van 3, m.youtube.com