Heron-driehoek

Een algemene parametrisering is gevonden door de Indische wiskundige Brahmagupta (598-668). Elke Heron-driehoek is gelijkvormig met een driehoek verkregen door parametrisering. Zo'n driehoek heeft zijden ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ die voldoen aan:

• ${\displaystyle a=u(v^{2}+w^{2})}$
• ${\displaystyle b=v(u^{2}+w^{2})}$
• ${\displaystyle c=(u+v)(uv-w^{2})}$

voor zekere gehele getallen ${\displaystyle u,v}$ en ${\displaystyle w}$ , met

• ggd${\displaystyle (u,v,w)=1}$
• ${\displaystyle uv>w^{2}\geq {\frac {uv^{2}}{2v+u}}}$
• ${\displaystyle v\geq w\geq 1}$

De oppervlakte van deze driehoek is

• ${\displaystyle \mathrm {Opp} =uvw(u+v)(uv-w^{2})}$

Een hoogtelijn in een driehoek.

Een hoogtelijn in een Heron-driehoek heeft een rationaal getal als lengte. Immers, oppervlakte en bijbehorende basis zijn ook rationale getallen. Mits hij binnen de driehoek ligt, verdeelt hij zelfs de Heron-driehoek in twee rechthoekige Heron-driehoeken, dus waarvan de zijden door schaling zijn om te vormen tot Pythagorese drietallen.

In nevenstaande figuur zijn ${\displaystyle a,\ b+d,\ c}$ en ${\displaystyle e}$ rationaal. Er moet dus nog worden aangetoond dat ${\displaystyle b}$ en ${\displaystyle d}$ rationaal zijn. Volgens de stelling van Pythagoras is

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

en

${\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}}$

Door aftrekken verkrijgt men

${\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}}$ ,

dus

${\displaystyle (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}}$

of

${\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}}$

Aangezien ${\displaystyle c,\ b+d}$ en ${\displaystyle e}$ rationaal zijn, is ${\displaystyle b-d}$ dus ook rationaal. Omdat ${\displaystyle b+d}$ en ${\displaystyle b-d}$ beide rationaal zijn, zijn ook ${\displaystyle b}$ (som van deze gedeeld door 2) en ${\displaystyle d}$ (verschil van deze gedeeld door 2) ook rationaal.

Het is ook mogelijk, de definitie iets anders te kiezen. Dat kan door de voorwaarde toe te voegen, dat de zijden van de driehoek geheel moeten zijn. Door de som van twee driehoeken te nemen met beide een rechte hoek, die beide een zijde aan de rechte hoek hebben met dezelfde lengte en die aan deze definitie voldoen, ontstaat op dezelfde manier als boven, een Heron-driehoek ook weer met zijden met een lengte, die geheel is. Voor dergelijke Heron-driehoeken, die op deze manier niet de som van twee andere Heron-driehoeken zijn, geldt onder andere:

• De som van de drie zijden is door 6 te delen
• De drie zijden zijn priemgetallen van de vorm 4k+1.