Hankel-matrix

Met een oneindige rij gehele getallen ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ associeert men de oneindige Hankel-matrix met ${\displaystyle a_{i+j-1}}$ op rij ${\displaystyle i}$ en kolom ${\displaystyle j.}$ De Hankel-matrix ${\displaystyle H_{n}}$ van orde ${\displaystyle n}$ is de vierkante submatrix met ${\displaystyle n}$ rijen in de linkerbovenhoek van die matrix:

${\displaystyle H_{n}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{n+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n+1}&\ldots &a_{2n-1}\\\end{bmatrix}}}$

De determinant van ${\displaystyle H_{n}}$ noemt men de Hankel-determinant ${\displaystyle h_{n}}$ van orde ${\displaystyle n.}$

De rij ${\displaystyle (h_{1},h_{2},h_{3},\ldots )}$ noemt men de Hankel-transformatie van A.[1]

Als men dit bijvoorbeeld toepast op de reeks Catalan-getallen, {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ...} verkrijgt men als Hankel-transformatie de reeks {1, 1, 1, 1, ...}. Dit is niet de enige reeks met die eigenschap; andere zijn bijvoorbeeld rij A055877, A055878 of A055879 in OEIS.

Men kan bewijzen dat voor elke getallenreeks, de Hankel-transformatie ervan identiek is aan de Hankel-transformatie van de binomiaaltransformatie van die reeks[2]. De binomiaaltransformatie van de Catalan-getallen bijvoorbeeld is {1, 2, 5, 15, 51, 188, 731, ...} (rij A007317 in OEIS).