Formule van Cardano

Voor de gereduceerde derdegraadsvergelijking:

${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$

luidt de formule van Cardano voor de oplossing:

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {-q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

De algemene (genormeerde) vorm van de derdegraadsvergelijking:

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

kan geschreven worden als:

${\displaystyle (x+{\tfrac {a}{3}})^{3}+(b-{\tfrac {1}{3}}a^{2})(x+{\tfrac {a}{3}})+{\tfrac {2}{27}}a^{3}-{\tfrac {1}{3}}ab+c=0}$,

dus in de eerder genoemde gereduceerde vorm:

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

met:

${\displaystyle y=x+{\tfrac {a}{3}}}$, ${\displaystyle p=b-{\tfrac {1}{3}}a^{2}}$ en ${\displaystyle q={\tfrac {2}{27}}a^{3}-{\tfrac {1}{3}}ab+c}$

Zonder verlies van algemeenheid kan de gereduceerde vorm geschreven worden als:

${\displaystyle x^{3}+3px-2q=0}$

Dan heeft de formule voor de oplossing de overzichtelijker vorm:

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$

Hier is ook gemakkelijk te zien, dat:

${\displaystyle x^{3}=\left(q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\right)+\left(q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\right)\,+\,3\,{\sqrt[{3}]{\left(q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\right)\left(q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}\right)}}\left({\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}\right)}$

dus:

${\displaystyle x^{3}=2q+3{\sqrt[{3}]{-p^{3}}}\cdot x=2q-3px}$

De 3 oplossingen worden verkregen door de substitutie ${\displaystyle x=u+v}$ onder de nevenvoorwaarde ${\displaystyle uv=-p}$. Dan volgt:

${\displaystyle 0=x^{3}+3px-2q=(u+v)^{3}+3p(u+v)-2q=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)+3p(u+v)-2q=u^{3}+v^{3}-2q}$

Voor ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle v}$ geldt dus ${\displaystyle u^{3}+v^{3}=2q}$ en ${\displaystyle u^{3}v^{3}=-p^{3}}$.

Volgens een formule van Viète zijn dan ${\displaystyle u^{3}}$ en ${\displaystyle v^{3}}$ oplossingen van de vergelijking:

${\displaystyle t^{2}-2qt-p^{3}=0}$,

dus:

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$  en  ${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$.

Met ${\displaystyle u}$ en ${\displaystyle v}$ voldoen ook de paren:

${\displaystyle (ue_{1},ve_{2})}$ en ${\displaystyle (ue_{2},ve_{1})}$,

waarin

${\displaystyle e_{1}=-{\tfrac {1}{2}}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}),e_{2}=-{\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})}$

de beide derdemachts-eenheidswortels zijn.

• Oplossen van vergelijkingen