Engel-expansie

De Engel-expansie of Engel-ontwikkeling van een positief reëel getal $x$ is de niet-dalende rij positieve gehele getallen $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$ waarvoor

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ldots

De Engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.[1]

Elk positief reëel getal heeft een unieke Engel-ontwikkeling. Voor rationale getallen is die ontwikkeling eindig; voor irrationale getallen is ze oneindig. De Engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening

De Engel-expansie van een gegeven getal x kan men berekenen met het volgende algoritme:

Zet $u_{1}=x,$
bereken voor k = 1, 2, 3, ...:
- $a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,$ en
- $u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1$

Hierin is $\left\lceil r\right\rceil$ de ceiling van $r$ .

Het algoritme stopt als een van de $u_{i}$ gelijk is aan 0.

Berekeningsvoorbeeld

De Engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

u_{1}=1,3

a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1,3}}\right\rceil =1

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1,3\cdot 1-1=0,3

a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0,3}}\right\rceil =4

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0,3\cdot 4-1=0,2

a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0,2}}\right\rceil =5

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0,2\cdot 5-1=0

Hier stopt het algoritme en de Engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

1,3={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 4\cdot 5}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}

Voorbeelden

De Engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:

\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}\;

- rij A006784 in OEIS

{\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}\;

- rij A028254 in OEIS

e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}\;

- rij A000027 in OEIS

De Engel-expansie van e is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}

Zie ook

Pierce-expansie, analoog aan de Engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.

Externe links

Wolfram MathWorld: Engel expansion

Bronnen, noten en/of referenties

F. Engel, "Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Marburg, 1913, blz. 190-191.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] F. Engel, "Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Marburg, 1913, blz. 190-191.