Elementaire rijoperatie

Een elementaire rijoperatie is een bewerking die wordt uitgevoerd op de rijen van een matrix, met de bedoeling deze in een echelonvorm te transformeren. Er zijn drie soorten elementaire rijoperaties:

het verwisselen van twee rijen,
het vermenigvuldigen van een rij met een getal verschillend van nul, en
het optellen van een veelvoud van een rij bij een andere rij.

Toepassingen zijn: het oplossen van lineaire stelsels, het inverteren van een matrix en het berekenen van een determinant. Bij deze laatste toepassing zijn ook kolomoperaties toegestaan. Het geval dat het meest voorkomt, is het geval waarbij de matrix waarmee wordt gerekend, een vierkante matrix is. De volgorde van de opeenvolgende rijoperaties op een matrix is niet commutatief.

De elementaire kolomoperaties zijn dezelfde als de elementaire rijoperaties, maar dan toegepast op de kolommen in plaats van op de rijen.

Bij elk van de drie elementaire rijoperaties is een zogeheten elementaire matrix gedefinieerd, die bij linksvermenigvuldiging met de betrokken matrix de rijoperatie teweegbrengt. Een kolomoperatie wordt uitgevoerd door de betrokken matrix rechts te vermenigvuldigen met een elementaire matrix.

Voorbeelden van rijoperaties

Het verwisselen van rijen

Van de matrix

A={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\0&1&1&2&0&7\\1&-1&2&4&1&8\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}

worden de rijen 2 en 4 verwisseld:

A_{1}={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\11&3&4&-2&6&-4\\1&-1&2&4&1&8\\0&1&1&2&0&7\end{bmatrix}}

Product van een rij met een reëel getal

Van de matrix

A={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\0&1&1&2&0&7\\1&-1&2&4&1&8\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}

wordt de 3e rij met 3 vermenigvuldigd:

A_{2}={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\0&1&1&2&0&7\\3&-3&6&12&3&24\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}

Het combineren van rijen

Van de matrix

A={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\0&1&1&2&0&7\\1&-1&2&4&1&8\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}

wordt de 3e rij 3 keer opgeteld bij de 2e rij:

A_{3}={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\0+3&1-3&1+6&2+12&0+3&7+24\\1&-1&2&4&1&8\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1&5&10&9&-1\\3&-2&7&14&3&31\\1&-1&2&4&1&8\\11&3&4&-2&6&-4\end{bmatrix}}

Toepassingen

Stelsels

Elementaire rijoperaties kunnen toegepast worden op de uitgebreide matrix $[A|B]$ van een stelsel van lineaire vergelijkingen. Op die manier kan de uitgebreide matrix in echelonvorm gezet worden, hetgeen het bepalen van de oplossingen door terugwaartse substitutie eenvoudig maakt. De Gauss-eliminatie en de Gauss-Jordaneliminatie zijn hierop gebaseerd.

Inverse van een matrix

Om de inverse van de vierkante matrix $A$ te berekenen kan men door middel van systematische rijoperaties proberen op de eenheidsmatrix uit te komen. Als

I=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}A

is:

A^{-1}=E_{k}\ldots E_{2}E_{1}

Bij toepassing wordt $A$ aangevuld met de bijbehorende eenheidsmatrix tot $[A\mid I\;],$ waarna door elementaire rij-operaties $A$ in de eenheidsmatrix $i$ overgevoerd wordt. Op de plaats van de oorspronkelijke eenheidsmatrix staat dan de inverse van $A$ : $[A\mid I\;]\to [\;I\mid A^{-1}]$

Determinant

Rijoperaties, en in dit geval ook analoog gedefinieerde kolomoperaties, worden gebruikt om bij het berekenen van een determinant naar een rij (kolom) te werken die, behalve op één plaats, verder gevuld is met nullen. Door ontwikkeling naar deze rij (kolom) wordt de orde verlaagd. Er dient evenwel, in dit geval rekening gehouden te worden met het gevolg van de verschillende soorten rijoperaties (kolomoperaties) op de determinant:

bij het verwisselen van twee rijen (kolommen) wisselt de determinant van teken
indien een rij (kolom) vermenigvulgd wordt met een factor, wordt de determinant door deze factor gedeeld.
het combineren van rijen (kolommen), een aantal keer een rij (kolom) bij een andere rij (kolom) optellen, laat de determinant onveranderd.

Voorbeeld

Gegeven de matrix:

A={\begin{bmatrix}2&-1&5&10\\0&1&1&2\\1&-1&2&4\end{bmatrix}}

Deze matrix kan door middel van elementaire rij-operaties in canonieke rij-echelonvorm geplaatst worden:

Eerste en derde rij verwisselen:

A'={\begin{bmatrix}1&-1&2&4\\0&1&1&2\\2&-1&5&10\end{bmatrix}}

Van de derde rij 2 maal de eerste rij aftrekken:

A''={\begin{bmatrix}1&-1&2&4\\0&1&1&2\\0&1&1&2\end{bmatrix}}

Van de derde rij de tweede rij aftrekken:

A'''={\begin{bmatrix}1&-1&2&4\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

De matrix is nu in echelonvorm.

De tweede rij bij de eerste rij optellen:

A''''={\begin{bmatrix}1&0&3&6\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

De matrix staat nu in canonieke rij-echelonvorm.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.