Differentiequotiënt

Zij ${\displaystyle f}$ een functie met domein ${\displaystyle D_{f}.}$ Als het interval ${\displaystyle [x,x+\Delta x]}$ een deel is van dit domein, noemt men het quotiënt

${\displaystyle \varphi (f,x,x+\Delta x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

het differentiequotiënt van ${\displaystyle f}$ over het interval ${\displaystyle [x,x+\Delta x].}$

Als de functie wordt aangeduid als ${\displaystyle y=f(x),}$ schrijft men wel

${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$,

en wordt het differentiequotiënt genoteerd als

${\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$.

Het differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de snijlijn (de blauwe lijn in de grafiek) door de punten ${\displaystyle (x,f(x))}$ en ${\displaystyle (x+\Delta x,f(x+\Delta x)),}$ op de grafiek van ${\displaystyle f.}$

Door ${\displaystyle \Delta x}$ naar nul te laten gaan, wordt deze lijn een steeds betere benadering van de raaklijn aan de grafiek van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle (x,f(x)).}$

Volgens de gegeneraliseerde versie van de stelling van Rolle bestaat er ten minste één punt binnen het interval ${\displaystyle [x,x+\Delta x],}$ waarbij de richtingscoëfficiënt van de snijlijn en van de raaklijn van functie ${\displaystyle f}$ aan elkaar gelijk zijn, op voorwaarde dat ${\displaystyle f}$ continu en differentieerbaar is binnen dat interval.

Toepassingen van differentiequotiënten kunnen worden gevonden in bijvoorbeeld de biologie (groei), natuurkunde (snelheids-, temperatuursveranderingen), macro-economie (modellen), scheikunde (oplosnelheid), meteorologie (voorspellingen).

• Differentiaalquotiënt
• Differentiaalvergelijking