Bézierkromme

De Bézierkromme van de graad 1, bepaald door de twee punten ${\displaystyle P_{0}}$ en ${\displaystyle P_{1},}$ is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

${\displaystyle B(t)=(1-t)P_{0}+tP_{1},\quad t\in [0,1].}$

De Bézierkromme van de graad 2, bepaald door de drie punten ${\displaystyle P_{0},P_{1}}$ en ${\displaystyle P_{2},}$ is de curve:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2},\quad t\in [0,1]}$.

De kromme ligt in het vlak door de gegeven 3 punten. Uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn de punten:

${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$

en wordt de kromme gegeven door de vergelijking

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}(y_{0}+y_{2}-2y_{1})^{2}+}$

${\displaystyle (y-y_{0})^{2}(x_{0}+x_{2}-2x_{1})^{2}-}$

${\displaystyle 2(x-x_{0})(y-y_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})+}$

${\displaystyle 4[(x-x_{0})(y_{1}-y_{0})-(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})]*}$

${\displaystyle [(x_{1}-x_{0})(y_{0}+y_{2}-2y_{1})-(y_{1}-y_{0})(x_{0}+x_{2}-2x_{1})]}$

${\displaystyle =0}$

Ook in drie dimensies ligt kromme in het vlak door de gegeven 3 punten, die dan elk gegeven zijn door ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i}).}$ Ook nu kunnen vergelijkingen voor de kromme opgesteld worden, die weliswaar niet gecompliceerd zijn, maar nogal wijdlopig.

De Bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) P₀, P₁, P₂ en P₃, is:

${\displaystyle B(t)=(1-t)^{3}P_{0}+3t(1-t)^{2}P_{1}+3t^{2}(1-t)P_{2}+t^{3}P_{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1]}$.