Areaalfunctie
De areaalfuncties zijn de inverse functies van de hyperbolische functies. De aanduiding 'areaal' in areaalfunctie refereert aan de betekenis van deze functies als oppervlakte.
Benaming en notatie
De standaardhyperbool
kan in parametervorm, met als parameter, geschreven worden door
Voor de parameterwaarde is de oppervlakte van het blauwe gebied in nevenstaande figuur juist gelijk aan . Het bijbehorende punt op de hyperbool is , zodat
De inverse functies van de cosinus- en de sinus hyperbolicus
geven dus als resultaat een oppervlakte, een 'areaal', dat overeenkomt met de blauw gekleurde punt. Vandaar dat deze inverse functies areaalfuncties genoemd worden. Naast het prefix "ar" wordt, naar analogie met de arcsinus e.d., ook "arc" (arcsinus hyperbolicus, arcsinh) gebruikt. Soms ziet men ook het prefix arg, dat staat voor argument of eenvoudigweg a, als in .
Expliciete formules
De zes areaalfuncties kunnen uitgedrukt worden in eenvoudige formules met behulp van de natuurlijke logaritme.
Areaalsinus hyperbolicus
Areaalcosinus hyperbolicus
Areaaltangens hyperbolicus
Areaalcotangens hyperbolicus
Areaalsecans hyperbolicus
Areaalcosecans hyperbolicus
Eigenschappen
Identiteiten
Afgeleiden
Som- en verschilformules
Onderlinge relaties
Bij het gebruik van deze uitdrukkingen moet rekening gehouden worden met de eventuele beperkingen op het domein van deze functies.
Reeksontwikkelingen
Enkel de areaalsinus hyperbolicus en de areaaltangens hyperbolicus kunnen probleemloos rond x= 0 worden ontwikkeld. De reeksen zijn dan:
Een andere reeksontwikkeling is:
Samenstellingen
Samenstellingen van hyperbolische en areaalfuncties leveren irrationale functievoorschriften:
Limieten
Twee standaardlimieten die areaalfuncties bevatten zijn:
Beide volgen uit de soortgelijke limiet voor de overeenstemmende hyperbolische functie, door middel van een eenvoudige substitutie.
Externe link
- Wolfram Mathworld: De pagina over de areaalfuncties op de website van Wolfram Mathworld bevat doorverwijzingen ('see also') naar gedetailleerde informatie over de individuele areaalfuncties, met onder andere de reeksontwikkelingen.