LC-kring

Een LC-kring heeft geen weerstand. Als deze kring wordt aangestoten, bijvoorbeeld door de condensator op te laden, ontstaat een oscillatie met frequentie f₀, waarbij periodiek energie van de condensator naar de spoel gaat en omgekeerd. Zonder weerstand treden geen verliezen op en zal de kring blijven oscilleren.

De resonantie-hoekfrequentie ω₀ (in radialen per seconde)

wordt gegeven door:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\cdot C}}}}$

waarin

L de zelfinductie van de spoel in Henry, en

C de capaciteit van de condensator in Farad

De resonantiefrequentie f₀ is dan:

${\displaystyle \ f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$

dus:

${\displaystyle \ f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L\cdot C}}}}}$

Uit de spanningswet van Kirchhoff volgt dat de spanning over de condensator, ${\displaystyle V_{C}}$ gelijk moet zijn aan de spanning over de spoel, ${\displaystyle V_{L}}$:

${\displaystyle V_{C}=-V_{L}}$

Op dezelfde manier volgt uit de stroomwet van Kirchhoff dat de som van de stromen door de condensator en de spoel gelijk moet zijn:

${\displaystyle i_{C}=i_{L}}$

Ook

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {di_{L}}{dt}}}$

en

${\displaystyle i_{C}(t)=C{\frac {dV_{C}}{dt}}}$

Na herschrijven en vervangen, volgt een tweede-orde differentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0}$

De parameter ω is als volgt gedefinieerd:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$

Met deze definitie is de differentiaalvergelijking te vereenvoudigen tot:

${\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0}$

Een wellicht mogelijke oplossing invullen, van de gedaante

${\displaystyle i(t)=e^{st}}$

levert met differentiëren en wegdelen van ${\displaystyle e^{st}}$ een voorwaarde voor s:

${\displaystyle s^{2}+\omega ^{2}=0}$, en dus zijn er twee oplossingen voor s:

${\displaystyle s=+j\omega }$

of

${\displaystyle s=-j\omega }$

waarin j de imaginaire eenheid is.

De volledige oplossing van de differentiaalvergelijking is:

${\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}}$

Deze kan worden opgelost voor ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ door de begincondities te veronderstellen (de waarden van ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle V}$ op tijdstip nul).

het stroomschema dat mogelijk de inspiratie vormde voor Mr. Chad

Het LC-stroomschema vormde mogelijk de inspiratie voor de creatie van Mr. Chad.[1]

• Resonantiefrequentie