Wet van behoud van impulsmoment

De wet van behoud van impulsmoment stelt dat als een voorwerp eenmaal in een bepaald tempo aan het draaien is, het de neiging heeft om die draaiing vol te houden. Er is een moment nodig (dus een niet-radiale externe kracht, een kracht die niet een centrale kracht is) om dat te veranderen. Wordt dat moment niet geleverd, dan kan er geen verandering zijn van het impulsmoment en wordt dat "behouden". Het is een van de behoudswetten waarop de klassieke mechanica is gebaseerd.

In formules wordt impulsmoment aangegeven met L. In deze L zit verwerkt de massa van het draaiende voorwerp, hoe snel die massa beweegt en hoe ver van de draaias die massa (gemiddeld) zit.

\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}

In woorden: het totale impulsmoment L is de optelsom voor alle deeltjes in het voorwerp van massa x snelheid x afstand tot de draaiingsas.

Bij een centrale kracht (een kracht gericht van of naar de oorsprong) en één klein voorwerp op afstand van de oorsprong beweegt het voorwerp in een vlak. In dat vlak is de oppervlakte, per tijdseenheid bestreken door de verbindingslijn (voerstraal) tussen de oorsprong en het voorwerp, gelijk aan de grootte van L, gedeeld door de massa van het voorwerp, en dus constant.

Met de zon in de oorsprong en een planeet als voorwerp is dit de Tweede wet van Kepler.

Behoud van impulsmoment bij kunstschaatsers

Als een kunstschaatser een pirouette - een snelle ronddraaiende beweging - maakt, zie je vaak dat de draaiing wordt ingezet met wijd uitgestrekte armen. Als de schaatser de armen intrekt wordt de draaiing enorm versneld. Dat is een direct gevolg van het "behoud" van de hierboven genoemde L: de m blijft gelijk, de r (afstand van de armen tot het midden) wordt steeds kleiner, dus de v wordt groter.

Dit is zelf uit te testen met bijvoorbeeld 2 gewichtjes en een draaibare bureaustoel:

Ga op de draaistoel zitten met gestrekte armen en begin rond te draaien, trek vervolgens de gewichten naar je toe en je zult een grotere draaisnelheid krijgen.

Afleiding

Het impulsmoment van een massapunt verandert niet als er geen moment op wordt uitgeoefend. Dit kan als volgt afgeleid worden. De verandering van impulsmoment is:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}

.

Nu is:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}

, de snelheid van het massapunt

en

{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}

, de kracht op het massapunt.

De laatste betrekking is de tweede wet van Newton.

Dus:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\vec {F}}

.

De eerste term draagt niet bij:

{\vec {v}}\times {\vec {p}}={\vec {v}}\times m{\vec {v}}={\vec {0}}

Dus:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {\tau }}

,

waarin ${\vec {\tau }}$ het moment op het massapunt is.

Indien F nul is of in de richting van de draaias werkt is er geen moment, zodat

{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}

Dus L = r × p is constant tijdens de beweging van het object. Met andere woorden, L is een behouden grootheid.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.