Tripolaire coördinaten

Leonhard Euler heeft de volgende relatie aangetoond tussen tripolaire coördinaten (f, g, h) van een punt en de lengtes van de zijden a, b en c:

${\displaystyle (-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}+c^{2})^{2}h^{2}-(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}+c^{2})-4f^{2}g^{2}h^{2}=0.}$

De vergelijking ${\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0}$, is een lijn als l+m+n= 0 en anders een cirkel.

• Als de vergelijking een cirkel is, dan heeft het middelpunt van de cirkel barycentrische coördinaten (l : m : n).
• Als de vergelijking een lijn is, dan staat deze lijn loodrecht op de lijn [l:m:n] in barycentrische coördinaten.

Het aantal punten dat tripolaire coördnaten (f, g, h) heeft die voldoen aan een gegeven verhouding f : g : h = x : y : z, is afhankelijk van of de getallen ax, by en cz:

• De zijden vormen van een driehoek, dan zijn er twee dergelijke punten;
• De zijden vormen van een ontaarde driehoek, dan is er één zo'n punt;
• Niet de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er geen punten die aan de voorwaarde voldoen.