Stelling van Taylor

De meest basale vorm van de stelling is de volgende. Laat de functie ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ keer differentieerbaar zijn in het punt ${\displaystyle x_{0}}$. Dan is er een functie ${\displaystyle h_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ zodanig dat

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}h_{n}(x)=0}$

en

${\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\tfrac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}=h_{n}(x)(x-x_{0})^{n}}$

Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.

Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.

Als ${\displaystyle f}$ een ${\displaystyle n+1}$ keer continu differentieerbare functie is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval ${\displaystyle [a,b],}$ is er voor elke ${\displaystyle x_{0},x\in (a,b)}$ een getal ${\displaystyle \theta }$ tussen ${\displaystyle x_{0}}$ en ${\displaystyle x,}$ zodanig dat

${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}}$

De stelling kan ook zo geformuleerd worden dat bij elk getal ${\displaystyle 0<p\leq n+1}$ een getal ${\displaystyle \theta }$ bestaat, zo, dat de restterm van de volgende algemene vorm is (restterm van Schlömilch):

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{p\ n!}}(x-\theta )^{n+1-p}(x-x_{0})^{p}}$.

Voor ${\displaystyle p=1}$ is dit de restterm van Cauchy:

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{n!}}(x-\theta )^{n}(x-x_{0})}$

Voor ${\displaystyle p=n+1}$ is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.

In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functie(waarde) uit een eindig aantal termen als boven. Als de functie ${\displaystyle f}$ voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x),}$

waarin men ${\displaystyle n}$ zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.

Een benadering van ${\displaystyle e^{x}}$ wordt verkregen door in de bovenstaande formule ${\displaystyle x_{0}=0}$ te stellen, en te gebruiken dat de afgeleide van ${\displaystyle e^{x}}$ gelijk is aan zichzelf, en voor ${\displaystyle x=0}$ gelijk is aan 1:

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Niet bij elke functie lukt zo'n benadering; van bijvoorbeeld de functie

${\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}$ voor ${\displaystyle x\neq 0}$ en ${\displaystyle f(0)=0}$

zijn alle afgeleiden nul voor ${\displaystyle x=0.}$ De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.

• Taylorreeks