Stelling van Hopf-Rinow

Laat ${\displaystyle (M,g)}$ een aangesloten riemann-variëteit zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van ${\displaystyle M}$ zijn compact;
2. ${\displaystyle M}$ is een volledige metrische ruimte;
3. ${\displaystyle M}$ is geodetisch volledig; dat wil zeggen dat voor elke ${\displaystyle p\in M}$, de exponentiële afbeelding ${\displaystyle \exp _{p}}$ wordt gedefinieerd op de gehele raakruimte ${\displaystyle T_{p}M}$.

Verder impliceert een van de bovenstaande formuleringen dat gegeven enige punten ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle M}$, er een lengte bestaat die de geodeet die deze twee punten verbindt minimaliseert (geodeten zijn in het algemeen extrema en kunnen al of niet minima zijn).