Stelling van Euclides

Uit het ongerijmde:

Stel dat het aantal priemgetallen eindig is, dus dat alleen de getallen ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots ,P_{k}}$ priem zijn.

Tel bij het product van alle priemgetallen 1 op. Het resultaat ${\displaystyle N=P_{0}\cdot P_{1}\cdot \ldots \cdot P_{k}+1}$ is groter dan het grootste priemgetal, en is dus geen priemgetal. Dus is dit getal deelbaar door een priemgetal (zie de hoofdstelling van de rekenkunde, waarin staat dat elk natuurlijk getal > 1 een priemdeler heeft). Het is echter niet deelbaar door een van de priemgetallen ${\displaystyle P_{0},P_{1},\dots ,P_{k}}$, want bij deling door een van deze is de rest 1. Dus is het deelbaar door een ander priemgetal, wat een tegenspraak inhoudt, waarmee de stelling bewezen is.