Stelling van Descartes

Gegeven drie elkaar rakende cirkels (zwart), welke straal kan dan de vierde rakende cirkel hebben? In het algemeen zijn er twee mogelijke antwoorden (rood). De getallen zijn de krommingen.

De stelling van Descartes wordt in het algemeen geformuleerd met het begrip kromming van de cirkel. Deze kromming is gedefinieerd als k = ±1/r, waarin r de straal is. Hoe groter de cirkel, hoe kleiner de kromming en vice versa.

Het plusteken in k = ±1/r slaat op een cirkel die aan zijn buitenkant raakt aan de andere cirkels, zoals de zwarte cirkels in de afbeelding. Voor een cirkel die de andere cirkels aan zijn binnenkant raakt wordt het minteken gebruikt.

Een rechte lijn kan in de stelling van Descartes worden als een ontaarde cirkel, met kromming k = 0.

Als vier elkaar onderling rakende cirkels krommingen k_i (for i = 1...4) hebben, dan zegt de Stelling van Descartes:

${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$

Om de straal te vinden van een vierde cirkel die raakt aan drie gegeven cirkels, kan de vergelijking het best worden herschreven als:

${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.}$

Het ± teken laat zien dat er in het algemeen twee oplossingen voor ${\displaystyle k_{4}}$ zijn, uitgezonderd:

• als twee van de drie cirkels ontaard zijn, valt ${\displaystyle k_{4}}$ samen met de enige niet-ontaarde cirkel;
• in het 'pathologische' geval dat ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$ en ${\displaystyle k_{3}}$ alle drie ontaard zijn, is ${\displaystyle k_{4}}$ ook ontaard.

• Cirkels van Soddy

• (en) Applet bij cut-the-knot.