Som-product-methode

Elke tweedegraads polynoom in de variabele ${\displaystyle x}$ is te schrijven als

${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

De basisvariant van de som-product-methode gaat ervan uit dat ${\displaystyle a=1}$, zodat de polynoom gelijk is aan

${\displaystyle x^{2}+bx+c.}$

Een ontbinding van deze polynoom (in lineaire factoren) ziet eruit als

${\displaystyle (x+w_{1})(x+w_{2}).}$

Gelijkstelling van deze twee vormen levert:

${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x+w_{1})(x+w_{2})=x^{2}+(w_{1}+w_{2})x+w_{1}w_{2}.}$

De som-product-methode berust op het bepalen van ${\displaystyle w_{1}}$ en ${\displaystyle w_{2}}$ door het gelijkstellen van de coëfficiënten:

${\displaystyle w_{1}+w_{2}=b}$

en

${\displaystyle w_{1}w_{2}=c.}$

Voor gehele ${\displaystyle w_{1}}$ en ${\displaystyle w_{2}}$ zijn deze in het algemeen eenvoudig te achterhalen.

De methode kan bijvoorbeeld gebruik worden om de nulpunten van de polynoom

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

te bepalen. Deze nulpunten zijn ${\displaystyle -w_{1}}$ en ${\displaystyle -w_{2}}$.

Een uitbreiding van de som-product-methode kan soms worden gebruikt om nulpunten te vinden als a ongelijk is aan 1. Hiertoe herschrijft men de vergelijking:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

tot

${\displaystyle a(ax^{2}+bx+c)=a^{2}x^{2}+abx+ac=(ax)^{2}+b(ax)+ac=0}$.

Gezocht worden twee getallen w₁ en w₂, waarvoor geldt:

${\displaystyle w_{1}+w_{2}=b}$

en

${\displaystyle w_{1}w_{2}=ac}$

Niet altijd kunnen de nulpunten van een tweedegraads polynoom gemakkelijk gevonden worden met de som-product-methode. In dergelijke gevallen gebruikt men de abc-formule om de nulpunten te vinden.