Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractale krommen in het gesloten vlak. Zij zijn als eerste geconstrueerd door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński. Een Sierpiński-kromme heeft een oneindige lengte en neemt toch een eindige oppervlakte in.

In de limiet ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig; hun limietkromme, die ook Sierpinski-kromme worden genoemd, is een voorbeeld van een ruimtevullende kromme.

Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is haar Hausdorff-dimensie (in de limiet ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) gelijk aan ${\displaystyle 2}$. De Euclidische lengte van ${\displaystyle S_{n}}$ is

${\displaystyle l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}}}$,

dat wil zeggen dat de Euclidische lengte exponentieel toeneemt met ${\displaystyle n}$.

De limiet voor ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ van het door ${\displaystyle S_{n}}$ ingesloten gebied is gelijk is aan ${\displaystyle 5/12\,}$ van het eenheidsvierkant (in de Euclidische metriek).

Sierpiński-kromme van de eerste orde	Sierpiński-kromme van de orden 1 en 2	Sierpiński-kromme van de orden 1 tot 3