Runge-Kuttamethode

Een benaderde oplossing van het beginvoorwaardeprobleem

${\displaystyle x'(t)=f(t,x(t))}$

met

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$

wordt stapsgewijs, met stapgrootte ${\displaystyle h}$, bepaald in de vorm van

${\displaystyle x_{n}\approx x(t_{n})}$,

waarin ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$.

Een ${\displaystyle s}$-staps methode berekent een volgende waarde als

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+h\sum _{j=1}^{s}b_{j}k_{j}}$

De coëfficiënten ${\displaystyle b_{j}}$ bepalen de gebruikte methode. De getallen ${\displaystyle k_{j}}$ vormen de tussenstappen, die de waarden zijn van de functie ${\displaystyle f}$ in bepaalde zogeheten knopen:

${\displaystyle k_{j}=f{\big (}t_{n}+hc_{j},y_{n}+h\sum _{l=1}^{s}a_{jl}k_{l}{\big )},\,j=1,\ldots ,s}$

Daarin zijn ${\displaystyle c_{j}}$ en ${\displaystyle a_{jl}}$ verdere, voor de methode karakteristieke coëfficiënten.

De Runge-Kuttamethode van de orde 4, vaak kort RK4 genoemd, is de klassieke methode, waarmee de differentiaalvergelijking

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(t,x)}$

met beginvoorwaarde ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ numeriek wordt opgelost met 4 tussenstappen via:

${\displaystyle t_{i+1}=t_{i}+h}$

en

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+{\tfrac {1}{6}}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}),}$

waarin:

${\displaystyle k_{1}=h\ f(t_{i},x_{i})}$

${\displaystyle k_{2}=h\ f\left(t_{i}+{\frac {h}{2}},x_{i}+{\frac {k_{1}}{2}}\right)}$

${\displaystyle k_{3}=h\ f\left(t_{i}+{\frac {h}{2}},x_{i}+{\frac {k_{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle k_{4}=h\ f(t_{i}+h,x_{i}+k_{3})}$

Beschouw het beginwaardeprobleem ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {-t}{x}}}$ met de beginvoorwaarde ${\displaystyle x(0)=1}$.

De exacte oplossing is ${\displaystyle t^{2}+x^{2}=1}$ (een cirkel).

Kies ${\displaystyle h=0{,}1}$.

De startwaarden zijn ${\displaystyle t_{0}=0}$ en ${\displaystyle x_{0}=1}$.

Dan volgt:

${\displaystyle k_{1}=0{,}0}$

${\displaystyle k_{2}=-0{,}005}$

${\displaystyle k_{3}=-0{,}00501253132832}$

${\displaystyle k_{4}=-0{,}0100503778338}$

zodat ${\displaystyle t_{1}=0{,}1}$ en ${\displaystyle x_{1}=0{,}994987426585}$.

Herhaling van deze procedure levert het deel van de cirkel in het eerste kwadrant.

${\displaystyle t}$	${\displaystyle x}$
0,0	1,0
0,1	0,994987426585
0,2	0,979795852198
0,3	0,95393908717
0,4	0,916514893222
0,5	0,866024896597
0,6	0,799998909634
0,7	0,714140165921
0,8	0,599991210485
0,9	0,435832710519
1,0	0,0488018582123

De exacte oplossing zou voor ${\displaystyle t=1}$ de waarde ${\displaystyle x=0}$ geven.

De methode is gelijkwaardig met een taylorreeks van 5 termen. Dit wil zeggen, dat halvering van de tijdstap ${\displaystyle h}$ de fout per stap met een factor 32 vermindert. Omdat er dan 2 keer zoveel stappen genomen worden, vermindert de totale fout met een factor 16.

De methode is ook bruikbaar als ${\displaystyle x}$ geen scalair, maar een kolomvector is.

Als ${\displaystyle f}$ niet afhangt van ${\displaystyle x}$, is de methode gelijkwaardig met de regel van Simpson voor numerieke berekening van een integraal.