Richtingsveld

Gegeven een stelsel van differentiaalvergelijkingen

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x_{1}}{{\rm {d}}t}}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x_{2}}{{\rm {d}}t}}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x_{n}}{{\rm {d}}t}}=f_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

is het richtingsveld een array van hellingsmarkeringen in de faseruimte (in elk willekeurig aantal dimensies, afhankelijk van het aantal relevante variabelen; bijvoorbeeld, twee in het geval van een eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking, zoals in het plaatje rechts te zien is.) Elke hellingsmarkering is gecentreerd op een punt ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ en loopt parallel aan de vector ${\displaystyle (1,f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)).}$

Het aantal, de positie en lengte van de hellingmarkeringen kunnen willekeurig zijn. De posities worden meestal gekozen als ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(a_{1}\Delta x_{1},a_{2}\Delta x_{2},\ldots ,a_{n}\Delta x_{n})}$ voor willekeurige (maar meestal gelijke) ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ en voor alle gehele getallen ${\displaystyle a_{i}}$, die punten binnen de gekozen ${\displaystyle x_{i}}$ intervallen produceren. De lengte van de hellingsmarkeringen is meestal geheel uniform en unitair of niet groter dan de kleinste van ${\displaystyle \Delta x_{i}}$.

In de differentiaalvergelijkingen hierboven zijn alleen de rechterleden van belang voor de bepaling van het richtingsveld; vandaar de volgende, algemenere definitie:[1]

Zij ${\displaystyle U}$ een open deelverzameling van de ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte. Een richtingsveld op ${\displaystyle U}$ is een afbeelding die met elk punt ${\displaystyle x}$ van ${\displaystyle U}$ een rechte door ${\displaystyle x}$ associeert.

Deze definitie omvat het eerdere geval door met ieder punt ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle n+1}$ dimensies de rechte te associëren die door ${\displaystyle x}$ gaat met richtingsgetallen ${\displaystyle (1,f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)).}$

Een integraalkromme van het richtingsveld is een differentieerbare kromme waarvan de raaklijn in ieder punt samenvalt met het richtingsveld in dat punt.

• Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen

• (en) http://mathworld.wolfram.com/SlopeField.html Richtingsveld op MathWorld
• (en) Richtingsveldplotter

• (en) Blanchard, Paul; Devaney, Robert L. en Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1

1. D.V. Anosov en V.I. Arnold (red.), "Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems," Encyclopaedia of Mathematical Sciences 1, Springer 1987.