Principe van Harnack

Het principe van Harnack of de stelling van Harnack is een wiskundige stelling, die valt binnen het vakgebied van de complexe analyse. Het is een van de verschillende nauw verwante stellingen over de convergentie van rijen en van harmonische functies, die volgen uit de ongelijkheid van Harnack. Het principe is genoemd naar de Baltisch-Duitse wiskunde Axel Harnack.

Als de functies ${\displaystyle u_{1}(z)}$, ${\displaystyle u_{2}(z),\ldots }$ harmonisch zijn in een open deelverzameling ${\displaystyle G}$ van het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , en in elk punt van ${\displaystyle G}$ geldt:

${\displaystyle u_{1}(z)\leq u_{2}(z)\leq \ldots }$,

is de limiet

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

of oneindig in elk punt van het domein ${\displaystyle G}$ of eindig in elk punt van het domein, in beide gevallen uniform in elke compacte deelverzameling van ${\displaystyle G}$. In het laatste geval is de functie

${\displaystyle u(z)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(z)}$

harmonisch in de verzameling ${\displaystyle G}$.