Lévyproces

Een continue tijd stochastisch proces wijst een toevalsveranderlijke ${\displaystyle X_{t}}$ toe aan elk punt ${\displaystyle t\geq 0}$ in de tijd. Het is dus een toevalsfunctie van ${\displaystyle t}$. De aangroeiingen van zo'n proces zijn de verschillen ${\displaystyle X_{s}-X_{t}}$ tussen de waarden van het proces op de verschillende tijdstippen ${\displaystyle t<s}$. De aangroeiingen zijn onafhankelijk als ${\displaystyle X_{s}-X_{t}}$ en ${\displaystyle X_{u}-X_{v}}$ onafhankelijke toevalsvariabelen zijn, onder de voorwaarde dat de twee tijdsintervallen elkaar niet overlappen.

De aangroeiingen heten Stationair als de kansverdeling van de aangroeiing ${\displaystyle X_{s}-X_{t}}$ alleen afhankelijk is van de lengte ${\displaystyle s-t}$ van het tijdsinterval. Aangroeiingen over even lange tijdsintervallen zijn dus gelijkverdeeld.

In het geval van een wienerproces is ${\displaystyle X_{s}-X_{t}}$ normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

In het geval van een poissonproces is de kansverdeling van ${\displaystyle X_{s}-X_{t}}$ een poissonverdeling met verwachtingswaarde ${\displaystyle \lambda \,(s-t)}$.

De kansverdelingen van de incrementen van een lévyproces zijn oneindig deelbaar. Er bestaat een lévyproces voor elke oneindig deelbare verdeling.

Het ${\displaystyle n}$-de moment ${\displaystyle \mu _{n}(t)=\mathrm {E} (X_{t}^{n})}$ van elk lévyproces met eindige momenten is een veelterm in ${\displaystyle t}$, bovendien voldoet deze functie aan de binomiale betrekking:

${\displaystyle \mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s)}$