Additiviteit

• De afgeleide en de integraal zijn additief en zelfs lineair.

• De functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ is niet additief: ${\displaystyle f(x+y)=x^{2}+y^{2}+2xy\neq f(x)+f(y)=x^{2}+y^{2}}$

Voor functies op een meetbare ruimte ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ (d.w.z. dat ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ een σ-algebra is van deelverzamelingen van ${\displaystyle \Omega }$ ) is ook een eigenschap additiviteit gedefinieerd.

Een niet-negatieve functie ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ heet additief, ook eindig additief, als voor alle disjuncte ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ geldt:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$ .

Hieruit volgt dat voor ieder eindig aantal disjuncte verzamelingen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ geldt:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})}$ .

Als ook voor een aftelbaar oneindige rij disjuncte verzamelingen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}}$ geldt dat:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$ .

heet de functie σ-additief (sigma-additief).