Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde

Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een differentiaalvergelijking die in de vorm:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)\cdot y=q(x)

geschreven kan worden, met $p(x)$ en $q(x)$ beide continue functies op het open interval $(a,b)$ . Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken. Indien $p(x)$ en $q(x)$ beide constant zijn, heeft men een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten van de eerste orde.

Oplossingsmethode

De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Zoek een zogenaamde integratiefactor $r(x)$ , waarvoor geldt:

r\cdot p(x)={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}

Vermenigvuldig de beide leden van de differentiaalvergelijking met $r$ :

r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+r\cdot p(x)\cdot y=r\cdot q(x)

oftewel:

r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y\,{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)

,

dus

{\frac {\mathrm {d} (ry)}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)

Los eerst de vergelijking voor $r$ op:

{\frac {r'}{r}}=p(x)

zodat na integratie:

r(x)=C\cdot \exp \left(\int p(x)\,\mathrm {d} x\right)

De integratieconstante $C$ kan ook weggelaten worden, omdat die wegvalt in de uiteindelijke oplossing.

Dan volgt voor $y$ :

y={\frac {1}{r(x)}}\left[\int r(x)q(x)\,\mathrm {d} x+K\right]

Voorbeeld

De differentiaalvergelijking:

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-3{\frac {y}{x}}=x^{4}

is lineair van eerste orde. Voor de integratiefactor geldt:

{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=-3{\frac {r}{x}}

Met als oplossing:

r=x^{-3}

De algemene oplossing is dus:

y(x)=x^{3}\left[\int x^{-3}x^{4}\,\mathrm {d} x+K\right]=x^{3}({\tfrac {1}{2}}x^{2}+K)

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.