Lemma van Fatou

Laat voor iedere natuurlijke ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f_{n}:S\to [0,\infty ]}$

een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ Dan is de functie

${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)}$

meetbaar en er geldt:

${\displaystyle \int _{S}f\,{\rm {d}}\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ,}$

Bewijs

Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem

${\displaystyle g_{k}(x)=\inf _{n\geq k}f_{n}(x),}$

dan is de rij ${\displaystyle (g_{n})}$ stijgend en puntsgewijs convergent naar ${\displaystyle f.}$

Als ${\displaystyle k\leq n}$, geldt

${\displaystyle g_{k}\leq f_{n},}$ dus ook ${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ,}$

zodat

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu .}$

Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,{\rm {d}}\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,{\rm {d}}\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,{\rm {d}}\mu ~.}$

Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.

Neem ${\displaystyle S=[0,1],}$ voorzien van de borel-algebra en de Lebesgue-maat en zij

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{voor }}0<x<{\tfrac {1}{n}},\\\ \\0&{\text{elders.}}\end{cases}}}$

Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.

• Monotone-convergentiestelling
• Stelling van de gedomineerde convergentie