Kwadraatafsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschrijven van een tweedegraadspolynoom die gegeven is in de vorm

f(x)=ax^{2}+bx+c

tot de vorm

f(x)=a(x+r)^{2}+s

met

r={\frac {b}{2a}}

en

s=c-{\frac {b^{2}}{4a}}

De methode van kwadraatafsplisen wordt onder meer gebruikt bij

het oplossen van een tweedegraadsvergelijking
het tekenen van de grafiek van een kwadratische functie
het integreren van een fuctie met behulp van een lineaire transformatie van de integratievariabele

Voorbeelden

Los de volgende tweedegraadsvergelijking op:

x^{2}+6x+5=0

Splits een kwadraat af

(x+3)^{2}-4=0

of anders geschreven:

(x+3)^{2}=4,

met als oplossingen:

x+3=\pm 2

dus

x=-5

of

x=-1.

Bepaal de integraal:

I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x^{2}+2px+q}}

Splits in de noemer een kwadraat af:

I=\int {\frac {{\rm {d}}x}{(x+p)^{2}+q-p^{2}}}

Sustitueer $y=x+p$ , dus $x=y-p$ en ${\rm {d}}x={\rm {d}}y$ , en noem voor het gemak $a=q-p^{2}$ . Dan wordt

I=\int {\frac {{\rm {d}}y}{y^{2}+a}}

,

waardoor de integraal is teruggebracht tot een standaardintegraal met een bekende oplossing.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.